Vi har ekvationen:

$\sin(2x) - \sqrt{2} \cdot \cos(x) = 0$

Steg 1: Använd trigonometriska identiteter

Vi börjar med att använda identiteten för $\sin(2x)$:

$\sin(2x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)$

Nu kan vi omskriva ekvationen:

$2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) - \sqrt{2} \cdot \cos(x) = 0$

Steg 2: Faktorisera

Vi ser att vi kan faktorisera ut $\cos(x)$ från båda termerna:

$\cos(x) \cdot \left( 2 \cdot \sin(x) - \sqrt{2} \right) = 0$

Steg 3: Lös ekvationen

Nu har vi två faktorer som måste vara noll:

1. $\cos(x) = 0$
2. $2 \cdot \sin(x) - \sqrt{2} = 0$

Första ekvationen: $\cos(x) = 0$

$\cos(x) = 0$ inträffar när:

$x = 90^\circ$

Andra ekvationen: $2 \cdot \sin(x) - \sqrt{2} = 0$

Lös för $\sin(x)$:

$2 \cdot \sin(x) = \sqrt{2}$

$\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ inträffar när:

$x = 45^\circ \quad \text{och} \quad x = 135^\circ$

Steg 4: Skriv lösningarna

Inom intervallet $0^\circ < x < 180^\circ$ har vi följande lösningar:

$x = 45^\circ, \quad x = 90^\circ, \quad x = 135^\circ$

Slutsats

Lösningarna till ekvationen $\sin(2x) - \sqrt{2} \cdot \cos(x) = 0$ i intervallet $0^\circ < x < 180^\circ$ är:

$x = 45^\circ, \quad 90^\circ, \quad 135^\circ$

Vill du ha mer detaljer om något steg eller har du några frågor?

Här är några relaterade frågor:

1. Hur fungerar den trigonometriska identiteten för $\sin(2x)$?
2. Hur faktorerar man trigonometriska ekvationer?
3. Vad innebär det att $\cos(x) = 0$ inom olika intervall?
4. Hur löser man ekvationer som innehåller kvadratrötter i trigonometriska sammanhang?
5. Hur kan vi använda enhetscirkeln för att lösa trigonometriska ekvationer?

Tips: Att memorera vanliga trigonometriska värden som $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ kan vara väldigt användbart när du löser liknande ekvationer.