Lös ekvationen
sin⁡2x−**√**2⋅cos⁡x=0
i intervallet
0°<x<180°

Vi har ekvationen:

\[
\sin(2x) - \sqrt{2} \cdot \cos(x) = 0
\]

### Steg 1: Använd trigonometriska identiteter

Vi börjar med att använda identiteten för \(\sin(2x)\):

\[
\sin(2x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)
\]

Nu kan vi omskriva ekvationen:

\[
2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) - \sqrt{2} \cdot \cos(x) = 0
\]

### Steg 2: Faktorisera

Vi ser att vi kan faktorisera ut \(\cos(x)\) från båda termerna:

\[
\cos(x) \cdot \left( 2 \cdot \sin(x) - \sqrt{2} \right) = 0
\]

### Steg 3: Lös ekvationen

Nu har vi två faktorer som måste vara noll:

1. \(\cos(x) = 0\)
2. \(2 \cdot \sin(x) - \sqrt{2} = 0\)

#### Första ekvationen: \(\cos(x) = 0\)

\(\cos(x) = 0\) inträffar när:

\[
x = 90^\circ
\]

#### Andra ekvationen: \(2 \cdot \sin(x) - \sqrt{2} = 0\)

Lös för \(\sin(x)\):

\[
2 \cdot \sin(x) = \sqrt{2}
\]

\[
\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

\(\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) inträffar när:

\[
x = 45^\circ \quad \text{och} \quad x = 135^\circ
\]

### Steg 4: Skriv lösningarna

Inom intervallet \(0^\circ < x < 180^\circ\) har vi följande lösningar:

\[
x = 45^\circ, \quad x = 90^\circ, \quad x = 135^\circ
\]

### Slutsats

Lösningarna till ekvationen \(\sin(2x) - \sqrt{2} \cdot \cos(x) = 0\) i intervallet \(0^\circ < x < 180^\circ\) är:

\[
x = 45^\circ, \quad 90^\circ, \quad 135^\circ
\]

Vill du ha mer detaljer om något steg eller har du några frågor?

Här är några relaterade frågor:

1. Hur fungerar den trigonometriska identiteten för \(\sin(2x)\)?
2. Hur faktorerar man trigonometriska ekvationer?
3. Vad innebär det att \(\cos(x) = 0\) inom olika intervall?
4. Hur löser man ekvationer som innehåller kvadratrötter i trigonometriska sammanhang?
5. Hur kan vi använda enhetscirkeln för att lösa trigonometriska ekvationer?

**Tips**: Att memorera vanliga trigonometriska värden som \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) kan vara väldigt användbart när du löser liknande ekvationer.

Lös ekvationen sin⁡2x−√2⋅cos⁡x=0 i intervallet 0°<x<180°

Learn how to solve the trigonometric equation sin(2x) − √2cos(x) = 0 in the interval 0° < x < 180°. This solution covers the use of trigonometric identities and solving trigonometric equations. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation