問題文の条件から、整式 $P(x)$ に対して $P(x) - P(y) = (x - y) Q(x, y)$ が成り立つとします。この式を元に、与えられた問いを順番に解いていきます。

(1) $P(x) = x^2$ のとき、 $Q(x, x)$ を求めなさい。

まず、$P(x) = x^2$ を代入して、元の条件式を整理します。

$P(x) - P(y) = x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

一方、条件式 $P(x) - P(y) = (x - y) Q(x, y)$ から、両辺を比較すると

$(x - y)(x + y) = (x - y) Q(x, y)$

$x \neq y$ のときは、両辺を $x - y$ で割ることができ、次のようになります。

$Q(x, y) = x + y$

この式を $x = y$ のときに適用すると、

$Q(x, x) = x + x = 2x$

よって、$P(x) = x^2$ のとき、$Q(x, x) = 2x$ です。

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(2) $P(x) = x^n$ （$n \geq 3$）のとき、$Q(x, x)$ を求めなさい。

次に $P(x) = x^n$ として、条件式に代入します。

$P(x) - P(y) = x^n - y^n$

これを因数分解すると、次のようになります。

$x^n - y^n = (x - y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + \cdots + y^{n-1})$

一方、条件式より

$P(x) - P(y) = (x - y) Q(x, y)$

これを比較すると、

$Q(x, y) = x^{n-1} + x^{n-2}y + \cdots + y^{n-1}$

ここで $x = y$ のとき、この式は次のようになります。

$Q(x, x) = x^{n-1} + x^{n-2}x + \cdots + x^{n-1} = n x^{n-1}$

よって、$P(x) = x^n$ のとき、$Q(x, x) = n x^{n-1}$ です。

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(3) $n \geq 3$ で、$P(x)$ が $x$ の $n$ 次式とし、実数 $a$ が方程式 $P(x) = 0$ の 2 重解ならば、$Q(a, a) = 0$ を満たすことを示しなさい。

$a$ が 2 重解であるということは、$P(x)$ は次のように表せることを意味します。

$P(x) = (x - a)^2 R(x)$

ここで $R(x)$ は $x = a$ で 0 とならない多項式です。$P(x) - P(y)$ を考えると、

$P(x) - P(y) = \left( (x - a)^2 R(x) \right) - \left( (y - a)^2 R(y) \right)$

これを条件式 $P(x) - P(y) = (x - y) Q(x, y)$ と比較します。$x = y = a$ のとき、

$P(x) = (x - a)^2 R(x) = 0$

よって $P(a) = 0$ です。また、$P(x) - P(y)$ は $x = y = a$ のとき両辺が 0 になります。

次に $P(x) - P(y) = (x - y) Q(x, y)$ の右辺も $x = y = a$ で 0 になるためには、$Q(a, a) = 0$ である必要があります。

これにより、$Q(a, a) = 0$ が示されました。

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質問リスト

1. $Q(x, y)$ の一般的な形はどのようになりますか？
2. $P(x) = x^3$ の場合、具体的な $Q(x, x)$ を求めるプロセスを説明してください。
3. 2 重解を持つ多項式の性質について、さらに詳しく説明してください。
4. 多重解を持たない場合でも、$Q(x, x)$ はどのように変化しますか？
5. $P(x)$ が $x$ の 4 次式の場合、同様の手順で $Q(x, x)$ を求めてください。

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ワンポイントアドバイス

多項式の因数分解を利用すると、複雑な式もシンプルに整理できるので、常に因数分解を試みる習慣を持つと良いでしょう。