整式 P(x)と実数 x,y に対して、Q(x,y)は
P(x)-P(y)=(x-y)Q(x,y)を満たすとする。
このとき以下の問いに答えなさい。
(1)P(x)=x²のとき、Q(x,x)を求めなさい。
(2)ｎは 3 以上の自然数とする。Ｐ(x)＝x^nのとき、Q(x,x)を求めなさい。
(3)ｎは 3 以上の自然数とし、Ｐ(x)は x のｎ次式であるとする。実数ａが方程式 P(x)＝0 の
2 重解ならば、Q(a,a)=0 を満たすことを示しなさい。

問題文の条件から、整式 \( P(x) \) に対して \( P(x) - P(y) = (x - y) Q(x, y) \) が成り立つとします。この式を元に、与えられた問いを順番に解いていきます。

### (1) \( P(x) = x^2 \) のとき、 \( Q(x, x) \) を求めなさい。

まず、\( P(x) = x^2 \) を代入して、元の条件式を整理します。

\[
P(x) - P(y) = x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
\]

一方、条件式 \( P(x) - P(y) = (x - y) Q(x, y) \) から、両辺を比較すると

\[
(x - y)(x + y) = (x - y) Q(x, y)
\]

\( x \neq y \) のときは、両辺を \( x - y \) で割ることができ、次のようになります。

\[
Q(x, y) = x + y
\]

この式を \( x = y \) のときに適用すると、

\[
Q(x, x) = x + x = 2x
\]

よって、\( P(x) = x^2 \) のとき、\( Q(x, x) = 2x \) です。

---

### (2) \( P(x) = x^n \) （\( n \geq 3 \)）のとき、\( Q(x, x) \) を求めなさい。

次に \( P(x) = x^n \) として、条件式に代入します。

\[
P(x) - P(y) = x^n - y^n
\]

これを因数分解すると、次のようになります。

\[
x^n - y^n = (x - y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + \cdots + y^{n-1})
\]

一方、条件式より

\[
P(x) - P(y) = (x - y) Q(x, y)
\]

これを比較すると、

\[
Q(x, y) = x^{n-1} + x^{n-2}y + \cdots + y^{n-1}
\]

ここで \( x = y \) のとき、この式は次のようになります。

\[
Q(x, x) = x^{n-1} + x^{n-2}x + \cdots + x^{n-1} = n x^{n-1}
\]

よって、\( P(x) = x^n \) のとき、\( Q(x, x) = n x^{n-1} \) です。

---

### (3) \( n \geq 3 \) で、\( P(x) \) が \( x \) の \( n \) 次式とし、実数 \( a \) が方程式 \( P(x) = 0 \) の 2 重解ならば、\( Q(a, a) = 0 \) を満たすことを示しなさい。

\( a \) が 2 重解であるということは、\( P(x) \) は次のように表せることを意味します。

\[
P(x) = (x - a)^2 R(x)
\]

ここで \( R(x) \) は \( x = a \) で 0 とならない多項式です。\( P(x) - P(y) \) を考えると、

\[
P(x) - P(y) = \left( (x - a)^2 R(x) \right) - \left( (y - a)^2 R(y) \right)
\]

これを条件式 \( P(x) - P(y) = (x - y) Q(x, y) \) と比較します。\( x = y = a \) のとき、

\[
P(x) = (x - a)^2 R(x) = 0
\]

よって \( P(a) = 0 \) です。また、\( P(x) - P(y) \) は \( x = y = a \) のとき両辺が 0 になります。

次に \( P(x) - P(y) = (x - y) Q(x, y) \) の右辺も \( x = y = a \) で 0 になるためには、\( Q(a, a) = 0 \) である必要があります。

これにより、\( Q(a, a) = 0 \) が示されました。

---

### 質問リスト

1. \( Q(x, y) \) の一般的な形はどのようになりますか？
2. \( P(x) = x^3 \) の場合、具体的な \( Q(x, x) \) を求めるプロセスを説明してください。
3. 2 重解を持つ多項式の性質について、さらに詳しく説明してください。
4. 多重解を持たない場合でも、\( Q(x, x) \) はどのように変化しますか？
5. \( P(x) \) が \( x \) の 4 次式の場合、同様の手順で \( Q(x, x) \) を求めてください。

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### ワンポイントアドバイス
多項式の因数分解を利用すると、複雑な式もシンプルに整理できるので、常に因数分解を試みる習慣を持つと良いでしょう。

整式 P(x)と実数 x,y に対して、Q(x,y)は P(x)-P(y)=(x-y)Q(x,y)を満たすとする。 このとき以下の問いに答えなさい。 (1)P(x)=x²のとき、Q(x,x)を求めなさい。 (2)ｎは 3 以上の自然数とする。Ｐ(x)＝x^nのとき、Q(x,x)を求めなさい。 (3)ｎは 3 以上の自然数とし、Ｐ(x)は x のｎ次式であるとする。実数ａが方程式 P(x)＝0 の 2 重解ならば、Q(a,a)=0 を満たすことを示しなさい。

Explore how to solve polynomial functions where Q(x, y) satisfies P(x)-P(y)=(x-y)Q(x,y). This problem covers finding Q(x, x) when P(x)=x² and P(x)=x^n, as well as showing Q(a, a)=0 for double roots. Suitable for advanced algebra students.

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