Déterminer tous les polynômes vérifiant les équations suivantes :
(a) (P0)2 = 4P.

Nous allons résoudre l'équation suivante pour déterminer tous les polynômes \( P(x) \) vérifiant :

\[
(P(0))^2 = 4P(x)
\]

### Étape 1 : Comprendre l'équation

L'équation donnée signifie que le carré de la valeur du polynôme \( P(x) \) évalué en \( x = 0 \), soit \( P(0) \), doit être égal à 4 fois le polynôme \( P(x) \).

On peut réécrire l'équation comme suit :
\[
(P(0))^2 = 4P(x)
\]
Ce qui implique que la valeur de \( P(0) \), notée \( a = P(0) \), doit satisfaire cette relation pour tous les \( x \).

### Étape 2 : Analyser les cas possibles

Soit \( a = P(0) \), nous avons donc :

\[
a^2 = 4P(x)
\]

Pour que cela soit vrai pour tous les \( x \), il est nécessaire que \( P(x) \) soit une constante (car le terme à gauche est une constante). Soit \( P(x) = a_0 \), où \( a_0 \) est une constante. Nous devons maintenant imposer que cette constante vérifie l'équation donnée.

### Étape 3 : Résoudre pour les polynômes constants

Si \( P(x) = a_0 \), alors :

\[
(P(0))^2 = 4P(x)
\]

Impliquant :

\[
a_0^2 = 4a_0
\]

Cette équation se réécrit en :

\[
a_0^2 - 4a_0 = 0
\]

Factorisons :

\[
a_0(a_0 - 4) = 0
\]

Il y a donc deux solutions possibles pour \( a_0 \) :
- \( a_0 = 0 \)
- \( a_0 = 4 \)

### Conclusion

Les polynômes \( P(x) \) qui vérifient l'équation donnée sont les polynômes constants \( P(x) = 0 \) et \( P(x) = 4 \).

### Polynômes solution :
\[
P(x) = 0 \quad \text{ou} \quad

Déterminer tous les polynômes vérifiant les équations suivantes : (a) (P0)2 = 4P.

Explore how to determine all constant polynomials that satisfy the equation (P(0))^2 = 4P(x). This problem involves analyzing constant polynomials, solving quadratic equations, and applying factorization methods. Suitable for students in Grades 10-12.

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