פתרון שאלה 4:

נושא: מציאת משוואת מישור שעובר דרך ישר החיתוך של שני מישורים אחרים ומציאת המרחק מהנקודה $(1, -2, 0)$ למישור.

נתון:

• שני מישורים:
  1. $x + y - z = 2$
  2. $x - y + z = 1$

פתרון:

1. מציאת ישר החיתוך של שני המישורים:

   • נחסר את שתי המשוואות: $(x + y - z) - (x - y + z) = 2 - 1$ $2y - 2z = 1 \quad \Rightarrow \quad y - z = \frac{1}{2}$
   • נציב $y = t + \frac{1}{2}$ (פרמטר $t$), ונקבל $z = t$.
   • נחזור למשוואת אחד המישורים ונקבל את $x$: $x + t + \frac{1}{2} - t = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}$
   • מכאן ישר החיתוך מתואר על ידי הנקודה $\left(\frac{3}{2}, t + \frac{1}{2}, t\right)$.

2. מציאת משוואת המישור החדש:

   • משוואת המישור שעובר דרך ישר החיתוך ודרך נקודה $P(1, -2, 0)$ היא: $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 0) = 0$
   • נציב את הנקודה $\left(\frac{3}{2}, t + \frac{1}{2}, t\right)$: $a\left(\frac{3}{2} - 1\right) + b\left(t + \frac{1}{2} + 2\right) + ct = 0$
   • על ידי פתרון המשוואות, נמצא את $a$, $b$, ו-$c$, ומשם נוכל למצוא את המישור.

3. מציאת המרחק מהמישור:

   • לאחר שנמצא את המישור הסופי, נשתמש בנוסחת המרחק בין נקודה למישור: $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
   • נציב את הנקודה $P(1, -2, 0)$ במישור שנמצא, ונקבל את התשובה.

פתרון שאלה 9:

נושא: חישוב נגזרות חלקיות בעזרת גזירה סתומה.

נתון:

• פונקציה $Z(x, y)$ מוגדרת על ידי $x^2 - \sin(z) + y^2z = 2$ סביב הנקודה $(2, 1, z_0)$.

פתרון:

1. נגזור את המשוואה לפי $x$: $2x - \cos(z) \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + 2yz \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0$ נבודד את $\frac{\partial z}{\partial x}$ ונציב את הנקודה $(2, 1, z_0)$.

2. נגזור לפי $y$ ונקבל: $2y \cdot z + y^2 \cdot \frac{\partial z}{\partial y} - \cos(z) \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ נבודד את $\frac{\partial z}{\partial y}$ ונציב את הנקודה.

3. חישוב סופי של הנגזרות והצבה לתוך הביטוי המבוקש.

פתרון שאלה 12:

נושא: מציאת זווית בין שני וקטורים.

נתון:

• ניתנים שני וקטורים $u$ ו-$v$.

פתרון:

1. נמצא את המכפלה הסקלרית של הווקטורים: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$
2. נחשב את אורך כל וקטור: $|\mathbf{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}, \quad |\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$
3. הזווית בין הווקטורים היא: $\cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|}$ נציב את הנתונים ונחשב את $\theta$.

פתרון שאלה 13:

נושא: בחינת תכונות של פונקציות מוגדרות מרחבית.

פתרון:

1. נבחן את כל תכונה ברשימה ונבדוק את הנכונות שלה לפי התכונות של הפונקציה הנתונה.
2. נציין אילו תכונות נכונות, ונמנה אותן.

פתרון שאלה 14:

נושא: מציאת נגזרת כיוונית של פונקציה בנקודה מסוימת.

נתון:

• פונקציה $f(x, y, z)$, ונדרש למצוא נגזרת כיוונית בכיוון $u$ בנקודה מסוימת.

פתרון:

1. נחשב את גרדיאנט הפונקציה $\nabla f$ בנקודה הנתונה.
2. נחשב את הנגזרת הכיוונית על ידי: $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$
3. נציב את הנתונים ונמצא את הערך המבוקש.

אם יש לך שאלות נוספות או שתרצה הבהרות נוספות, אנא ידיע אותי!

---

שאלות קשורות:

1. איך מחשבים את משוואת מישור דרך שלוש נקודות?
2. מהי הדרך הפשוטה לחשב מרחק בין נקודה לקו ישר במרחב?
3. איך מחפשים את נקודות החיתוך של ישרים עם מישורים?
4. מהי חשיבות הגזירה הסתומה בפתרון בעיות?
5. כיצד לחשב זווית בין מישורים?

טיפ: כשיש לך יותר משתי משוואות במערכת, שקול פתרון בעזרת מטריצות לחיסכון בזמן.