Mari kita selesaikan soal latihan 5.4 satu per satu:

Soal 1

Diketahui:

• Titik $P(0, 7, -3)$
• Vektor normal bidang $\vec{n} = [8, 0, 3]$

Persamaan umum bidang dengan titik $P(x_0, y_0, z_0)$ dan vektor normal $\vec{n} = [a, b, c]$ adalah: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

Substitusikan:

• $a = 8$, $b = 0$, $c = 3$
• $x_0 = 0$, $y_0 = 7$, $z_0 = -3$

Persamaan bidangnya adalah: $8(x - 0) + 0(y - 7) + 3(z + 3) = 0$ atau disederhanakan menjadi: $8x + 3z + 9 = 0$

Soal 2

Diberikan tiga persamaan untuk menentukan titik potong grafik:

1. $3x - 2y + z = 6$
2. $x - y - 4 = 0$
3. $x = 2$

Substitusikan $x = 2$ ke dalam persamaan kedua dan ketiga:

1. Dari $x = 2$, substitusi ke persamaan kedua: $2 - y - 4 = 0 \Rightarrow y = -2$

2. Selanjutnya, substitusi $x = 2$ dan $y = -2$ ke dalam persamaan pertama: $3(2) - 2(-2) + z = 6 \Rightarrow 6 + 4 + z = 6 \Rightarrow z = -4$

Jadi, titik potong grafik adalah $(2, -2, -4)$.

Soal 3

Diketahui titik $P(1, 2, 2)$ dan bidang dengan persamaan $x - 3y + z - 5 = 0$.

Rumus jarak dari titik $P(x_1, y_1, z_1)$ ke bidang $ax + by + cz + d = 0$ adalah: $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Substitusi:

• $a = 1$, $b = -3$, $c = 1$, $d = -5$
• $x_1 = 1$, $y_1 = 2$, $z_1 = 2$

Hitung jaraknya: $d = \frac{|(1)(1) + (-3)(2) + (1)(2) - 5|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2}}$ $d = \frac{|1 - 6 + 2 - 5|}{\sqrt{1 + 9 + 1}}$ $d = \frac{|-8|}{\sqrt{11}} = \frac{8}{\sqrt{11}} \approx 2.41$

Jadi, jarak dari titik $P(1, 2, 2)$ ke bidang tersebut adalah sekitar $2.41$ satuan.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang dapat membantu memahami materi lebih dalam:

1. Bagaimana menentukan persamaan bidang jika diketahui dua titik dan vektor normal?
2. Apa langkah-langkah untuk menentukan titik potong beberapa persamaan bidang?
3. Bagaimana menghitung jarak antara dua titik dalam ruang tiga dimensi?
4. Mengapa vektor normal berperan penting dalam menentukan orientasi suatu bidang?
5. Bagaimana cara menggambarkan grafik dari beberapa persamaan bidang dalam ruang tiga dimensi?

Tip: Untuk menentukan persamaan bidang, selalu cari vektor normal dan satu titik di bidang tersebut; ini merupakan pendekatan paling langsung.