¡Claro! Vamos a resolver y explicar los ejercicios.

Ejercicio 1

Se pide encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen $(0, 0)$ que cumple con ciertas características de foco o directriz.

Concepto clave

La forma de una parábola depende de si se abre en el eje $x$ o en el eje $y$:

• Si el foco está en el eje $x$: $y^2 = 4px$ (se abre hacia la derecha o izquierda).
• Si el foco está en el eje $y$: $x^2 = 4py$ (se abre hacia arriba o abajo).

Además:

• La directriz está a una distancia $|p|$ opuesta al foco.

Voy a resolver cada opción que aparece en el inciso:

1. Directriz $x = 3$:

   • La parábola se abre hacia la izquierda o derecha, ya que la directriz es vertical.
   • La ecuación base es $y^2 = 4px$.
   • La directriz está en $x = -p$, por lo tanto, $p = -3$.
   • Sustituyendo $p$ en $y^2 = 4px$, obtenemos: $y^2 = -12x$

2. Directriz $y = -1$:

   • La parábola se abre hacia arriba o abajo, ya que la directriz es horizontal.
   • La ecuación base es $x^2 = 4py$.
   • La directriz está en $y = -p$, por lo tanto, $p = 1$.
   • Sustituyendo $p$ en $x^2 = 4py$, obtenemos: $x^2 = 4y$

3. Directriz $x + 5 = 0$:

   • Esto es equivalente a $x = -5$, lo que indica que la parábola se abre en el eje $x$.
   • La ecuación base es $y^2 = 4px$.
   • La directriz está en $x = -p$, por lo tanto, $p = 5$.
   • Sustituyendo $p$ en $y^2 = 4px$, obtenemos: $y^2 = 20x$

Ejercicio 2

Se pide calcular el vértice, el foco y la directriz para las ecuaciones de parábolas dadas.

Resolviendo cada inciso:

1. Inciso (a): $y^2 - 12x = 0$:

   • Reescribimos: $y^2 = 12x$.
   • Comparando con $y^2 = 4px$, tenemos $4p = 12 \implies p = 3$.
   • El vértice es $(0, 0)$, el foco es $(3, 0)$, y la directriz es $x = -3$.

2. Inciso (b): $x^2 + 12y = 0$:

   • Reescribimos: $x^2 = -12y$.
   • Comparando con $x^2 = 4py$, tenemos $4p = -12 \implies p = -3$.
   • El vértice es $(0, 0)$, el foco es $(0, -3)$, y la directriz es $y = 3$.

3. Inciso (c): $x^2 + 6y = 0$:

   • Reescribimos: $x^2 = -6y$.
   • Comparando con $x^2 = 4py$, tenemos $4p = -6 \implies p = -1.5$.
   • El vértice es $(0, 0)$, el foco es $(0, -1.5)$, y la directriz es $y = 1.5$.

4. Inciso (d): $y^2 - 4x = 0$:

   • Reescribimos: $y^2 = 4x$.
   • Comparando con $y^2 = 4px$, tenemos $4p = 4 \implies p = 1$.
   • El vértice es $(0, 0)$, el foco es $(1, 0)$, y la directriz es $x = -1$.

5. Inciso (e): $y^2 = 3x$:

   • Comparando con $y^2 = 4px$, tenemos $4p = 3 \implies p = 0.75$.
   • El vértice es $(0, 0)$, el foco es $(0.75, 0)$, y la directriz es $x = -0.75$.

Resumen:

Si deseas, puedo proporcionar gráficos o resolver con mayor detalle cualquier paso. ¿Te gustaría ver algo más?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el foco y la directriz de una parábola general?
2. ¿Qué sucede si la ecuación de la parábola no tiene el vértice en el origen?
3. ¿Cuál es la diferencia entre las parábolas que se abren hacia el eje $x$ y hacia el eje $y$?
4. ¿Qué técnicas se usan para graficar una parábola a partir de su ecuación?
5. ¿Cómo se transforma una parábola desplazando su vértice desde el origen?

Tip: Siempre reescribe las ecuaciones de las parábolas en su forma estándar para identificar fácilmente el valor de $p$.