Math Problem Statement
Explique moi ça Exercice 1.3. Soient A = µ x 5 0 2x ¶ et B = µ y 7 −1 3y ¶ . Déterminez les réels x et y pour que 2 · A −4 ·B = µ −5 −18 4 −13 ¶ 1 Solution 1.3. La condition d’égalité entre la matrice 2·A−4·B et la matrice µ −5 −18 4 −13 ¶ se traduit par quatre équations, une pour chaque entrée des deux matrices, c’est-à-dire par un système de quatre équations en deux variables x et y. L’unique solution de ce système est x = −1 et y = 3 4 . Comment?
Solution
Pour résoudre cet exercice, il faut déterminer les valeurs de et telles que l'égalité entre les matrices suivante soit vraie :
\begin{pmatrix} -5 & -18 \\ 4 & -13 \end{pmatrix}$$ Où les matrices $$A$$ et $$B$$ sont données par : $$A = \begin{pmatrix} x & 5 \\ 0 & 2x \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} y & 7 \\ -1 & 3y \end{pmatrix}$$ ### Étape 1 : Calcul de $$2 \cdot A$$ et $$4 \cdot B$$ **Calcul de $$2 \cdot A$$ :** $$2 \cdot A = 2 \cdot \begin{pmatrix} x & 5 \\ 0 & 2x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 10 \\ 0 & 4x \end{pmatrix}$$ **Calcul de $$4 \cdot B$$ :** $$4 \cdot B = 4 \cdot \begin{pmatrix} y & 7 \\ -1 & 3y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4y & 28 \\ -4 & 12y \end{pmatrix}$$ ### Étape 2 : Calcul de $$2 \cdot A - 4 \cdot B$$ Maintenant, on effectue la soustraction des matrices $$2 \cdot A$$ et $$4 \cdot B$$ : $$2 \cdot A - 4 \cdot B = \begin{pmatrix} 2x & 10 \\ 0 & 4x \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4y & 28 \\ -4 & 12y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - 4y & 10 - 28 \\ 0 + 4 & 4x - 12y \end{pmatrix}$$ Ce qui donne : $$2 \cdot A - 4 \cdot B = \begin{pmatrix} 2x - 4y & -18 \\ 4 & 4x - 12y \end{pmatrix}$$ ### Étape 3 : Résolution du système d'équations Nous savons que cette matrice doit être égale à : $$\begin{pmatrix} -5 & -18 \\ 4 & -13 \end{pmatrix}$$ En comparant les éléments des matrices, nous obtenons les équations suivantes : 1. $$2x - 4y = -5$$ 2. $$-18 = -18$$ (c'est une équation triviale, elle est toujours vraie) 3. $$4 = 4$$ (pareil, toujours vrai) 4. $$4x - 12y = -13$$ Les équations à résoudre sont donc : $$\begin{cases} 2x - 4y = -5 \\ 4x - 12y = -13 \end{cases}$$ ### Étape 4 : Résolution du système On peut résoudre ce système en utilisant la méthode de substitution ou d’élimination. Utilisons l'élimination. 1. Divisons la première équation par 2 pour simplifier le système : $$x - 2y = -\frac{5}{2}$$ 2. Multiplions cette équation par 4 : $$4x - 8y = -10$$ 3. Maintenant, soustrayons la nouvelle équation de la deuxième équation $$4x - 12y = -13$$ : $$(4x - 12y) - (4x - 8y) = -13 - (-10)$$ Ce qui donne : $$-4y = -3 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3}{4}$$ 4. Substituons $$y = \frac{3}{4}$$ dans la première équation $$x - 2y = -\frac{5}{2}$$ : $$x - 2 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{5}{2}$$ Cela devient : $$x - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$$ En ajoutant $$\frac{3}{2}$$ des deux côtés : $$x = -\frac{5}{2} + \frac{3}{2} = -1$$ ### Conclusion Les valeurs de $$x$$ et $$y$$ qui satisfont l'équation sont : $$x = -1 \quad \text{et} \quad y = \frac{3}{4}$$ Si tu as des questions ou si tu souhaites plus de détails sur la méthode, n'hésite pas à demander ! Voici quelques questions supplémentaires pour approfondir le sujet : 1. Comment résoudre un système de matrices plus complexe avec des variables ? 2. Quel est le rôle de l'élimination de variables dans la résolution des systèmes linéaires ? 3. Qu'est-ce qu'une matrice inversible et comment la calculer ? 4. Comment interpréter géométriquement les solutions d'un système linéaire dans le plan ? 5. Comment vérifier si une solution est correcte après avoir résolu un système d'équations ? **Conseil :** Toujours vérifier chaque étape de votre solution pour éviter des erreurs d'addition ou de soustraction, surtout lors de l’élimination des variables.Ask a new question for Free
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Matrix Operations
System of Linear Equations
Formulas
Matrix addition and scalar multiplication
System of equations: 2x - 4y = -5 and 4x - 12y = -13
Theorems
Equality of matrices: Two matrices are equal if all corresponding entries are equal.
Suitable Grade Level
Grades 10-12