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Para resolver la ecuación logarítmica de la última parte de la imagen, vamos a analizar y descomponerla paso a paso. La ecuación es:

\[
\log_5(x - 5) - \log_5(1 + 6x) = \log_5\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{\log_5(x^2 - 2x + 3)}{\log_5(x)} = 2
\]

Empecemos con los pasos:  

### Paso 1: Propiedades de los logaritmos
Sabemos que:
1. La resta de logaritmos puede expresarse como un cociente:
   \[
   \log_5(x - 5) - \log_5(1 + 6x) = \log_5\left(\frac{x - 5}{1 + 6x}\right)
   \]

2. La multiplicación de logaritmos puede expandirse:
   \[
   \log_5\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{\log_5(x^2 - 2x + 3)}{\log_5(x)} = \frac{\log_5(1/x) \cdot \log_5(x^2 - 2x + 3)}{\log_5(x)}
   \]

Ahora, reescribimos la ecuación de manera más compacta:
\[
\log_5\left(\frac{x - 5}{1 + 6x}\right) = \frac{\log_5(1/x) \cdot \log_5(x^2 - 2x + 3)}{\log_5(x)} = 2
\]

### Paso 2: Analizamos cada lado
Para resolver, consideraremos las restricciones del dominio:
1. \(x - 5 > 0 \implies x > 5\)
2. \(1 + 6x > 0 \implies x > -\frac{1}{6}\)
3. \(x > 0\), porque \(x\) aparece como denominador.

El dominio total es \(x > 5\).

Reescribimos:
\[
\log_5\left(\frac{x - 5}{1 + 6x}\right) = 2
\]

#### Resolviendo para el lado izquierdo:
Por definición de logaritmo:
\[
\frac{x - 5}{1 + 6x} = 5^2 = 25
\]

Resolvemos esta ecuación racional:
\[
x - 5 = 25(1 + 6x)
\]
\[
x - 5 = 25 + 150x
\]
\[
x - 150x = 25 + 5
\]
\[
-149x = 30
\]
\[
x = -\frac{30}{149}
\]

Pero esta solución está fuera del dominio (\(x > 5\)).  

Continuamos trabajando la ecuación restante, porque la solución numérica no es válida. ¿Quieres que continúe verificando los pasos restantes con más detalle?

Explore a detailed solution to a logarithmic equation involving subtraction, multiplication, and division of logarithmic terms. Learn about logarithmic properties and their application in solving algebraic problems.

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