Berikut adalah soal beserta penyelesaian yang menggunakan sifat-sifat logaritma:

Soal:

Diketahui $\log_2 (x^2 + 3x) - \log_2 (x + 1) = 1$. Tentukan nilai $x$.

Penyelesaian:

1. Gunakan sifat selisih logaritma:

   Menurut sifat logaritma, selisih dua logaritma dapat diubah menjadi logaritma dari pembagian dua argumen, yaitu:

   $\log_a b - \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right)$

   Terapkan sifat ini pada persamaan:

   $\log_2 \left( \frac{x^2 + 3x}{x + 1} \right) = 1$

2. Ubah logaritma menjadi bentuk eksponensial:

   Logaritma dapat diubah ke bentuk eksponensial sebagai berikut:

   $\log_a b = c \implies b = a^c$

   Dengan menerapkan ini, kita dapat mengubah persamaan menjadi:

   $\frac{x^2 + 3x}{x + 1} = 2^1$

   Sehingga:

   $\frac{x^2 + 3x}{x + 1} = 2$

3. Selesaikan persamaan rasional:

   Untuk menghilangkan penyebut, kalikan kedua sisi dengan $x + 1$:

   $x^2 + 3x = 2(x + 1)$

   $x^2 + 3x = 2x + 2$

   Kemudian, pindahkan semua suku ke satu sisi:

   $x^2 + 3x - 2x - 2 = 0$

   $x^2 + x - 2 = 0$

4. Faktorkan persamaan kuadrat:

   Persamaan kuadrat tersebut dapat difaktorkan sebagai:

   $(x - 1)(x + 2) = 0$

   Sehingga, solusi dari persamaan tersebut adalah:

   $x - 1 = 0 \quad \text{atau} \quad x + 2 = 0$

   $x = 1 \quad \text{atau} \quad x = -2$

5. Periksa nilai yang memenuhi domain logaritma:

   Karena logaritma hanya didefinisikan untuk bilangan positif, kita perlu memeriksa apakah nilai-nilai $x$ memenuhi syarat tersebut. Untuk $\log_2 (x^2 + 3x)$ dan $\log_2 (x + 1)$ agar terdefinisi, harus berlaku:

   $x^2 + 3x > 0 \quad \text{dan} \quad x + 1 > 0$

   Untuk $x + 1 > 0$, ini berarti $x > -1$. Jadi, $x = -2$ tidak memenuhi syarat ini.

   Dengan demikian, solusi yang memenuhi adalah:

   $x = 1$

Jawaban akhir:

Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = 1$.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau memiliki pertanyaan?

Berikut adalah beberapa soal terkait untuk memperdalam pemahaman:

1. Jika $\log_3 (x+4) - \log_3 (x-2) = 2$, tentukan $x$.
2. Tentukan nilai $x$ jika $\log_5 (x^2 + 2x) = \log_5 (x + 6)$.
3. Diketahui $\log_2 (2x + 3) = 3 - \log_2 (x + 1)$, temukan nilai $x$.
4. Selesaikan $\log_4 (x^2 - 5x + 6) = 2$.
5. Jika $\log_a b + \log_a c = 3$, dan $b = 5$, $c = 2$, tentukan nilai $a$.

Tip: Saat memecahkan persamaan logaritma, perhatikan domain fungsi logaritma, yaitu bahwa logaritma hanya terdefinisi untuk bilangan positif.