miten ratkaistaan differentiaaliyhtälö y'+y=x+1

Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä:

\[
y' + y = x + 1
\]

Tämä on ensimmäisen asteen lineaarinen tuloehtodifferentiaaliyhtälö, jonka ratkaisemiseen käytämme seuraavaa ratkaisumenetelmää:

### 1. Standardimuoto:
Yhtälö voidaan kirjoittaa standardimuotoon:

\[
y' + p(x)y = q(x)
\]

Tässä \(p(x) = 1\) ja \(q(x) = x + 1\).

### 2. Integrointitekijä:
Ratkaisemiseen tarvitaan integrointitekijä, joka on:

\[
\mu(x) = e^{\int p(x)\, dx}
\]

Koska \(p(x) = 1\), niin:

\[
\mu(x) = e^{\int 1\, dx} = e^{x}
\]

### 3. Kertominen integrointitekijällä:
Kerrotaan alkuperäinen yhtälö \(e^x\)-integrointitekijällä:

\[
e^x y' + e^x y = (x + 1)e^x
\]

Tämä voidaan kirjoittaa muotoon:

\[
\frac{d}{dx}(e^x y) = (x + 1)e^x
\]

### 4. Integrointi molemmin puolin:
Seuraavaksi integroimme molemmat puolet \(x\):n suhteen:

\[
\int \frac{d}{dx}(e^x y)\, dx = \int (x + 1)e^x \, dx
\]

Vasemman puolen integraali on suoraan \(e^x y\). Oikean puolen integraali voidaan ratkaista osittaisintegroinnilla. Osittaisintegroinnin tulos on:

\[
\int (x + 1)e^x \, dx = (x + 1)e^x - e^x = x e^x
\]

Joten yhtälö on:

\[
e^x y = x e^x + C
\]

Missä \(C\) on integraalivakio.

### 5. Ratkaisun eristys:
Vaihda takaisin \(y\):n eristämiseksi:

\[
y = x + Ce^{-x}
\]

### Loppuratkaisu:
Ratkaisumme on siis:

\[
y = x + Ce^{-x}
\]

Missä \(C\) on vakio, joka määräytyy alkuarvoista.

---

Haluatko lisätietoja tai apua jossain kohdassa? 

1. Mikä on osittaisintegrointi ja kuinka sitä käytetään?
2. Mikä on alkuarvokysymys, jos tiedämme \(y(0) = 2\)?
3. Miten ratkaistaan toisen asteen lineaariset differentiaaliyhtälöt?
4. Mikä on integrointitekijä ja miksi sitä käytetään tässä menetelmässä?
5. Miten ratkaisua voidaan soveltaa käytännön ongelmiin, kuten fysikaalisiin sovelluksiin?

**Vinkki**: Kun käytät osittaisintegrointia, muista, että kaava on \(\int u dv = uv - \int v du\).

Learn how to solve the first-order linear differential equation y' + y = x + 1 using an integration factor and partial integration. This step-by-step solution covers key concepts in solving differential equations and is suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation