Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut :
𝑦′ + 𝑦 = x

Persamaan diferensial yang diberikan adalah:

\[
y' + y = x
\]

Ini adalah persamaan diferensial linear orde pertama. Untuk mencari solusi umum, kita dapat menggunakan metode faktor integrasi. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

### 1. Tuliskan persamaan dalam bentuk standar
Persamaan ini sudah dalam bentuk standar:

\[
y' + P(x) y = Q(x)
\]

di mana \(P(x) = 1\) dan \(Q(x) = x\).

### 2. Temukan faktor integrasi
Faktor integrasi (\(\mu(x)\)) diberikan oleh rumus:

\[
\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 1 \, dx} = e^{x}
\]

### 3. Kalikan persamaan dengan faktor integrasi
Kalikan seluruh persamaan \(y' + y = x\) dengan \(\mu(x) = e^{x}\):

\[
e^{x} y' + e^{x} y = e^{x} x
\]

### 4. Sederhanakan persamaan
Sisi kiri dari persamaan ini dapat dikenali sebagai turunan dari \(e^{x} y\):

\[
\frac{d}{dx} \left( e^{x} y \right) = e^{x} x
\]

### 5. Integrasikan kedua sisi
Sekarang kita integrasikan kedua sisi persamaan:

\[
\int \frac{d}{dx} \left( e^{x} y \right) \, dx = \int e^{x} x \, dx
\]

Sisi kiri akan menghasilkan \(e^{x} y\). Untuk sisi kanan, kita menggunakan integrasi parsial.

#### Integrasi Parsial
Gunakan metode integrasi parsial untuk menghitung \(\int e^{x} x \, dx\). Misalkan \(u = x\) dan \(dv = e^{x} dx\), maka:

\[
du = dx, \quad v = e^{x}
\]

Berdasarkan aturan integrasi parsial:

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]

\[
\int e^{x} x \, dx = x e^{x} - \int e^{x} \, dx = x e^{x} - e^{x} + C
\]

Jadi, kita dapat menulis:

\[
e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C
\]

### 6. Solusi umum
Sekarang, bagi kedua sisi persamaan dengan \(e^{x}\):

\[
y = x - 1 + C e^{-x}
\]

Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah:

\[
y = x - 1 + C e^{-x}
\]

Di mana \(C\) adalah konstanta integrasi.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada bagian yang ingin didalami?

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara memilih faktor integrasi untuk persamaan linear lainnya?
2. Apa yang dimaksud dengan metode integrasi parsial dan kapan digunakan?
3. Bagaimana menangani persamaan diferensial yang non-linear?
4. Bagaimana cara menemukan solusi khusus dari persamaan diferensial ini?
5. Bagaimana perbedaan solusi umum dengan solusi khusus?

**Tip:** Dalam persamaan diferensial, metode faktor integrasi sangat berguna untuk menyederhanakan persamaan linear.

Carilah solusi umum persamaan diferensial berikut : 𝑦′ + 𝑦 = x

Discover how to solve the first-order linear differential equation y' + y = x using the integrating factor method. This step-by-step guide covers important concepts such as integrating factors and integration by parts, suitable for students at the undergraduate level studying calculus or differential equations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation