Persamaan diferensial yang diberikan adalah:

$y' + y = x$

Ini adalah persamaan diferensial linear orde pertama. Untuk mencari solusi umum, kita dapat menggunakan metode faktor integrasi. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1. Tuliskan persamaan dalam bentuk standar

Persamaan ini sudah dalam bentuk standar:

$y' + P(x) y = Q(x)$

di mana $P(x) = 1$ dan $Q(x) = x$.

2. Temukan faktor integrasi

Faktor integrasi ($\mu(x)$) diberikan oleh rumus:

$\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 1 \, dx} = e^{x}$

3. Kalikan persamaan dengan faktor integrasi

Kalikan seluruh persamaan $y' + y = x$ dengan $\mu(x) = e^{x}$:

$e^{x} y' + e^{x} y = e^{x} x$

4. Sederhanakan persamaan

Sisi kiri dari persamaan ini dapat dikenali sebagai turunan dari $e^{x} y$:

$\frac{d}{dx} \left( e^{x} y \right) = e^{x} x$

5. Integrasikan kedua sisi

Sekarang kita integrasikan kedua sisi persamaan:

$\int \frac{d}{dx} \left( e^{x} y \right) \, dx = \int e^{x} x \, dx$

Sisi kiri akan menghasilkan $e^{x} y$. Untuk sisi kanan, kita menggunakan integrasi parsial.

Integrasi Parsial

Gunakan metode integrasi parsial untuk menghitung $\int e^{x} x \, dx$. Misalkan $u = x$ dan $dv = e^{x} dx$, maka:

$du = dx, \quad v = e^{x}$

Berdasarkan aturan integrasi parsial:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

$\int e^{x} x \, dx = x e^{x} - \int e^{x} \, dx = x e^{x} - e^{x} + C$

Jadi, kita dapat menulis:

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

6. Solusi umum

Sekarang, bagi kedua sisi persamaan dengan $e^{x}$:

$y = x - 1 + C e^{-x}$

Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah:

$y = x - 1 + C e^{-x}$

Di mana $C$ adalah konstanta integrasi.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada bagian yang ingin didalami?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara memilih faktor integrasi untuk persamaan linear lainnya?
2. Apa yang dimaksud dengan metode integrasi parsial dan kapan digunakan?
3. Bagaimana menangani persamaan diferensial yang non-linear?
4. Bagaimana cara menemukan solusi khusus dari persamaan diferensial ini?
5. Bagaimana perbedaan solusi umum dengan solusi khusus?

Tip: Dalam persamaan diferensial, metode faktor integrasi sangat berguna untuk menyederhanakan persamaan linear.