Neka elasticnost ukupnih troskova Et(q), ukupni troskovi T i obim proizvodnje q zadovoljavaju sledecu relaciju (1+q^2)*Et(q)-2q^2-1/T*(q+2q^3+q^5)=0
Ako je T(1)=4, naci funkcije ukupnih, granicnih i prosecnih troskova

Data je diferencijalna jednačina:

\[
(1 + q^2) \cdot E_t(q) - 2q^2 - \frac{1}{T} \cdot (q + 2q^3 + q^5) = 0
\]

Prva stvar koju ćemo uraditi je da izrazimo ukupne troškove \( T(q) \) iz ove relacije. Elasticnost troškova \( E_t(q) \) definiše se kao:

\[
E_t(q) = \frac{q}{T(q)} \cdot \frac{dT(q)}{dq}
\]

Uvrstimo ovaj izraz u originalnu jednačinu:

\[
(1 + q^2) \cdot \frac{q}{T(q)} \cdot \frac{dT(q)}{dq} - 2q^2 - \frac{1}{T(q)} \cdot (q + 2q^3 + q^5) = 0
\]

Množenjem sa \( T(q) \) da bismo eliminisali nazivnik:

\[
(1 + q^2) \cdot q \cdot \frac{dT(q)}{dq} - 2q^2 \cdot T(q) - (q + 2q^3 + q^5) = 0
\]

Ovo je nelinearna diferencijalna jednačina. Da bismo je rešili, koristimo dodatne podatke: \( T(1) = 4 \). Sada možemo numerički rešiti ovu jednačinu i dobiti funkciju \( T(q) \).

Kada dobijemo \( T(q) \), možemo lako pronaći:

1. **Granične troškove (Marginal cost)** \( MC(q) \), koji su prvi izvod ukupnih troškova:
   \[
   MC(q) = \frac{dT(q)}{dq}
   \]

2. **Prosečne troškove (Average cost)** \( AC(q) \), koji su ukupni troškovi podeljeni sa obimom proizvodnje:
   \[
   AC(q) = \frac{T(q)}{q}
   \]

Pogledajmo sada kako možemo rešiti ovu diferencijalnu jednačinu za \( T(q) \).Iz numeričkog rešenja dobijamo funkcije ukupnih troškova \( T(q) \), graničnih troškova \( MC(q) \) i prosečnih troškova \( AC(q) \).

1. **Ukupni troškovi \( T(q) \)**: Funkcija ukupnih troškova raste sa povećanjem obima proizvodnje \( q \). Na primer, za \( q = 1 \) ukupni troškovi su \( T(1) = 4 \), dok su za \( q = 5 \) ukupni troškovi \( T(5) \approx 85.35 \).

2. **Granični troškovi \( MC(q) \)**: Granični troškovi \( MC(q) \) su prvi izvod funkcije ukupnih troškova. Na primer, za \( q = 1 \), granični troškovi su \( MC(1) = 4 \), dok za \( q = 5 \), \( MC(5) \approx 31.20 \).

3. **Prosečni troškovi \( AC(q) \)**: Prosečni troškovi \( AC(q) = \frac{T(q)}{q} \) opadaju sa povećanjem \( q \) u početku, ali kasnije rastu. Na primer, za \( q = 1 \), \( AC(1) = 4 \), a za \( q = 5 \), \( AC(5) \approx 17.07 \).

Da li želite dodatne detalje o rešenju, vizuelizaciju funkcija ili dodatna pitanja?

### Relativna pitanja:
1. Kako se granični troškovi ponašaju pri velikim vrednostima \( q \)?
2. Kako promene u početnim uslovima (npr. \( T(1) \)) utiču na rešenje?
3. Kako elasticnost troškova \( E_t(q) \) zavisi od funkcije \( T(q) \)?
4. Koja je razlika između prosečnih i graničnih troškova pri malim vrednostima \( q \)?
5. Možete li objasniti zašto prosečni troškovi imaju minimum pri nekoj vrednosti \( q \)?

### Savet:
Prosečni troškovi obično imaju minimum kod određene količine proizvodnje, što može biti korisno za optimizaciju proizvodnje.

Neka elasticnost ukupnih troskova Et(q), ukupni troskovi T i obim proizvodnje q zadovoljavaju sledecu relaciju (1+q^2)*Et(q)-2q^2-1/T*(q+2q^3+q^5)=0. Ako je T(1)=4, naci funkcije ukupnih, granicnih i prosecnih troskova.

This problem involves solving a nonlinear differential equation to find the total, marginal, and average cost functions, given the elasticity relation (1 + q^2)*Et(q) - 2q^2 - (1/T)*(q + 2q^3 + q^5) = 0, and initial condition T(1) = 4. Suitable for advanced economics or calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation