Θέμα 2ο

2α. Η συνάρτηση οριακού κόστους ενός παραγωγού ηλεκτρικών συσκευών δίδεται από τη σχέση MC = x(2x + 5)^4 όπου x είναι ο αριθμός των συσκευών που παράγονται. Επιπλέον, υπάρχει ένα σταθερό κόστος FC=500 ευρώ. Η συνάρτηση οριακών εσόδων της επιχείρησης δίδεται από τη σχέση MR = 48 – 16x + x^2 Να βρείτε (χρησιμοποιώντας το 'θέτω') τη συνάρτηση συνολικού κόστους, τη συνάρτηση κέρδους (Π) και τη συνάρτηση ζήτησης της επιχείρησης

2β. Δίνεται η συνάρτηση ζήτησης και η συνάρτηση προσφοράς: Qd = a + bP όπου α > 0 και b < 0 και Qs = c + dP όπου c < 0 και d > 0. Να εξετάσετε την ορθότητα της πρότασης που ακολουθεί: 'Δεν υφίσταται καμία προϋπόθεση για την ύπαρξη ισορροπίας σε ένα απλό γραμμικό μικροοικονομικό υπόδειγμα'

### 2α. Υπολογισμός των συνάρτησεων συνολικού κόστους, κέρδους και ζήτησης

Δίνονται οι παρακάτω σχέσεις:

- **Οριακό Κόστος (MC):** \( MC = x(2x + 5)^4 \)
- **Σταθερό Κόστος (FC):** \( FC = 500 \) ευρώ
- **Οριακά Έσοδα (MR):** \( MR = 48 - 16x + x^2 \)

#### Βήμα 1: Υπολογισμός της Συνάρτησης Συνολικού Κόστους (TC)
Για να βρούμε τη συνάρτηση του συνολικού κόστους \( TC(x) \), πρέπει να ολοκληρώσουμε τη συνάρτηση του οριακού κόστους \( MC(x) \):

\[
TC(x) = \int MC(x) \, dx + FC
\]

Όπου \( MC(x) = x(2x + 5)^4 \).

Ας υπολογίσουμε την ολοκλήρωση:

\[
TC(x) = \int x(2x + 5)^4 \, dx + 500
\]

Μια πιθανή αλλαγή μεταβλητής μπορεί να είναι \( u = 2x + 5 \), \( du = 2dx \). Επομένως:

\[
\int x(2x + 5)^4 \, dx = \frac{1}{2} \int \left(\frac{u - 5}{2}\right)u^4 \, du
\]

Αυτό μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά, αλλά η γενική ιδέα είναι να φτάσουμε σε ένα εκφρασμένο πολυώνυμο που προστίθεται στη σταθερά κόστους.

Έστω ότι το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης είναι \( TC(x) = f(x) + 500 \).

#### Βήμα 2: Υπολογισμός της Συνάρτησης Κέρδους (Π)
Το κέρδος είναι η διαφορά μεταξύ των συνολικών εσόδων (TR) και του συνολικού κόστους (TC). Για να βρούμε τα συνολικά έσοδα, πρέπει να ολοκληρώσουμε τη συνάρτηση οριακών εσόδων (MR):

\[
TR(x) = \int MR(x) \, dx
\]

Όπου \( MR(x) = 48 - 16x + x^2 \):

\[
TR(x) = \int (48 - 16x + x^2) \, dx
\]

Η ολοκλήρωση θα δώσει:

\[
TR(x) = 48x - 8x^2 + \frac{x^3}{3} + C
\]

Το κέρδος θα είναι:

\[
\Pi(x) = TR(x) - TC(x)
\]

#### Βήμα 3: Εύρεση της Συνάρτησης Ζήτησης
Η συνάρτηση ζήτησης \( P(x) \) μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση που συνδέει τα συνολικά έσοδα με την τιμή και την ποσότητα. Εφόσον \( TR = P(x) \times x \):

\[
P(x) = \frac{TR(x)}{x}
\]

Αντικαθιστώντας τα \( TR(x) \) που έχουμε βρει, θα πάρουμε τη συνάρτηση ζήτησης.

### 2β. Ανάλυση της Πρότασης για την Ύπαρξη Ισορροπίας

#### Συνάρτηση ζήτησης: \( Q_d = a + bP \) με \( a > 0 \) και \( b < 0 \)
#### Συνάρτηση προσφοράς: \( Q_s = c + dP \) με \( c < 0 \) και \( d > 0 \)

Η ισορροπία στην αγορά προκύπτει όταν η ποσότητα που ζητείται ισούται με την ποσότητα που προσφέρεται:

\[
Q_d = Q_s \quad \Rightarrow \quad a + bP = c + dP
\]

Λύνοντας ως προς την τιμή ισορροπίας \( P^* \):

\[
P^* = \frac{a - c}{d - b}
\]

Η ισορροπία υπάρχει υπό την προϋπόθεση ότι \( d \neq b \), δηλαδή οι κλίσεις της καμπύλης προσφοράς και ζήτησης πρέπει να είναι διαφορετικές. Αυτό αντικρούει την πρόταση ότι "Δεν υφίσταται καμία προϋπόθεση για την ύπαρξη ισορροπίας".

### Συμπέρασμα
Η πρόταση **είναι λανθασμένη** γιατί υπάρχει συγκεκριμένη προϋπόθεση για την ύπαρξη ισορροπίας, δηλαδή οι κλίσεις της ζήτησης και της προσφοράς πρέπει να είναι διαφορετικές.

### Θέλετε να εμβαθύνουμε σε κάποιο από τα παραπάνω σημεία;

---

**5 Ερωτήσεις για Επέκταση:**
1. Πώς επηρεάζει το σταθερό κόστος την ανάλυση κέρδους;
2. Μπορείτε να εξηγήσετε τη διαδικασία ολοκλήρωσης που χρησιμοποιήθηκε για το συνολικό κόστος;
3. Ποιες θα ήταν οι συνέπειες εάν οι κλίσεις της προσφοράς και της ζήτησης ήταν ίδιες;
4. Πώς επηρεάζει η μεταβλητή τιμή την ποσότητα ισορροπίας;
5. Ποια είναι η σημασία των συνθηκών ύπαρξης ισορροπίας στις αγορές;

**Tip:** Στην ανάλυση μικροοικονομίας, οι παραδοχές για τις κλίσεις των συναρτήσεων παίζουν καθοριστικό ρόλο στον προσδιορισμό της ισορροπίας.

Learn how to calculate the total cost, profit, and demand functions for a producer of electrical appliances using advanced calculus and microeconomic concepts. This problem involves integration of cost functions and analysis of equilibrium in a linear microeconomic model. Suitable for university-level students studying microeconomics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation