Math Problem Statement

Розвʼязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці 4x1+x2-5x3=16; x1 +2x2-4x3=6; -2x2-x3=6

Solution

Для розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці, спершу запишемо систему в матричній формі:

Система рівнянь:

4x_1 + x_2 - 5x_3 = 16 \\ x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 6 \\ -2x_2 - x_3 = 6 \end{cases}$$ ### 1. Запис системи у матричній формі Запишемо систему у вигляді $$A \cdot \vec{x} = \vec{b}$$, де: - $$A$$ — матриця коефіцієнтів, - $$\vec{x}$$ — вектор невідомих $$[x_1, x_2, x_3]^T$$, - $$\vec{b}$$ — вектор вільних членів $$[16, 6, 6]^T$$. Матриця коефіцієнтів $$A$$: $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -4 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$ Вектор невідомих $$\vec{x}$$: $$\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$$ Вектор вільних членів $$\vec{b}$$: $$\vec{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}$$ ### 2. Знайдемо зворотну матрицю $$A^{-1}$$ Щоб знайти розв'язок системи, потрібно знайти зворотну матрицю $$A^{-1}$$ і потім помножити її на вектор $$\vec{b}$$: $$\vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b}$$ Обчислю зараз зворотну матрицю $$A^{-1}$$ і розв'яжу систему. ### 3. Розв'язок Давайте обчислимо результат.Розв'язок системи рівнянь: $$x_1 = 2, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = -2$$ Тобто, вектор розв'язку: $$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$$ Якщо у вас є питання або потрібно більше деталей, запитуйте! ### Відповідні запитання: 1. Як знайти зворотну матрицю вручну? 2. Що таке детермінант матриці і як він пов'язаний зі зворотною матрицею? 3. Як можна розв'язати систему рівнянь іншим методом, наприклад методом Крамера? 4. Що відбувається, якщо матриця не має зворотної? 5. Як використовувати метод Гауса для розв'язку систем лінійних рівнянь? ### Порада: Завжди перевіряйте детермінант матриці перед пошуком зворотної, оскільки матриця має зворотну лише тоді, коли її детермінант не дорівнює нулю.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Systems of Linear Equations
Inverse Matrix

Formulas

Matrix form: A * x = b
Inverse matrix: A^(-1) * A = I
Solution: x = A^(-1) * b

Theorems

Inverse Matrix Theorem
Determinant and Non-singular Matrix

Suitable Grade Level

Undergraduate

Related Recommendation

Solving a System of Linear Equations using Inverse Matrix Method: 4x1 + x2 - 5x3 = 16, x1 + 2x2 - 4x3 = 6, -2x2 - x3 = 6

Solving System of Linear Equations Using Matrix Inversion (3x3 System)

Solving a System of Linear Equations Using Matrix Inversion

Solve System of Linear Equations using Matrix Inversion Method

Solving a System of Linear Equations using Matrices and Gaussian Elimination