Розвʼязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці 4x1+x2-5x3=16; x1 +2x2-4x3=6; -2x2-x3=6

Для розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці, спершу запишемо систему в матричній формі:

Система рівнянь:
\[
\begin{cases}
4x_1 + x_2 - 5x_3 = 16 \\
x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 6 \\
-2x_2 - x_3 = 6
\end{cases}
\]

### 1. Запис системи у матричній формі

Запишемо систему у вигляді \( A \cdot \vec{x} = \vec{b} \), де:
- \( A \) — матриця коефіцієнтів,
- \( \vec{x} \) — вектор невідомих \( [x_1, x_2, x_3]^T \),
- \( \vec{b} \) — вектор вільних членів \( [16, 6, 6]^T \).

Матриця коефіцієнтів \( A \):
\[
A = \begin{pmatrix}
4 & 1 & -5 \\
1 & 2 & -4 \\
0 & -2 & -1
\end{pmatrix}
\]

Вектор невідомих \( \vec{x} \):
\[
\vec{x} = \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
\]

Вектор вільних членів \( \vec{b} \):
\[
\vec{b} = \begin{pmatrix}
16 \\
6 \\
6
\end{pmatrix}
\]

### 2. Знайдемо зворотну матрицю \( A^{-1} \)

Щоб знайти розв'язок системи, потрібно знайти зворотну матрицю \( A^{-1} \) і потім помножити її на вектор \( \vec{b} \):
\[
\vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b}
\]

Обчислю зараз зворотну матрицю \( A^{-1} \) і розв'яжу систему.

### 3. Розв'язок
Давайте обчислимо результат.Розв'язок системи рівнянь:
\[
x_1 = 2, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = -2
\]

Тобто, вектор розв'язку:
\[
\vec{x} = \begin{pmatrix}
2 \\
-2 \\
-2
\end{pmatrix}
\]

Якщо у вас є питання або потрібно більше деталей, запитуйте!

### Відповідні запитання:
1. Як знайти зворотну матрицю вручну?
2. Що таке детермінант матриці і як він пов'язаний зі зворотною матрицею?
3. Як можна розв'язати систему рівнянь іншим методом, наприклад методом Крамера?
4. Що відбувається, якщо матриця не має зворотної?
5. Як використовувати метод Гауса для розв'язку систем лінійних рівнянь?

### Порада:
Завжди перевіряйте детермінант матриці перед пошуком зворотної, оскільки матриця має зворотну лише тоді, коли її детермінант не дорівнює нулю.

Розвʼязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці 4x1 + x2 - 5x3 = 16; x1 + 2x2 - 4x3 = 6; -2x2 - x3 = 6

Learn how to solve a system of linear equations using the inverse matrix method. The system 4x1 + x2 - 5x3 = 16; x1 + 2x2 - 4x3 = 6; -2x2 - x3 = 6 is solved step-by-step, using matrix operations such as finding the inverse matrix and multiplying it by the constants vector. Suitable for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation