Math Problem Statement

Розвʼязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці 4x1+x2-5x3=16; x1 +2x2-4x3=6; -2x2-x3=6, напиши дуже докладний розв'язок

Solution

Щоб розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою методу зворотної матриці, спочатку необхідно записати систему рівнянь у матричній формі. У нашому випадку система має вигляд:

4x_1 + x_2 - 5x_3 = 16 \\ x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 6 \\ -2x_2 - x_3 = 6 \end{cases}$$ ### Крок 1: Запис системи у матричній формі Ми можемо переписати систему у вигляді: $$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$ де $$A$$ — матриця коефіцієнтів, $$\mathbf{x}$$ — вектор невідомих, а $$\mathbf{b}$$ — вектор правих частин рівнянь. - Матриця $$A$$: $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -4 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$ - Вектор невідомих $$\mathbf{x}$$: $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$$ - Вектор правих частин $$\mathbf{b}$$: $$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}$$ Отже, система рівнянь має вигляд: $$\begin{pmatrix} 4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -4 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}$$ ### Крок 2: Знайдемо обернену матрицю $$A^{-1}$$ Щоб знайти розв'язок системи методом зворотної матриці, необхідно спочатку знайти обернену матрицю до матриці $$A$$. Для матриці $$A$$ обернена матриця $$A^{-1}$$ може бути знайдена через такі кроки: 1. **Знайдемо визначник матриці $$A$$**. 2. **Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів матриці $$A$$**. 3. **Транспонуємо матрицю доповнень та поділимо на визначник**. ### Крок 3: Розв'язок за допомогою формули $$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$$ Після того, як знайдемо обернену матрицю $$A^{-1}$$, використаємо формулу для знаходження вектора невідомих: $$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$$ ### Рішення Зараз знайду обернену матрицю та розв'яжу рівняння.Розв'язок системи лінійних рівнянь є: $$x_1 = 2, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = -2$$ ### Докладний процес: 1. Ми представили систему рівнянь у матричній формі $$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$, де: - Матриця коефіцієнтів $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -4 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$, - Вектор невідомих $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$$, - Вектор правих частин $$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}$$. 2. Знайдено обернену матрицю $$A^{-1}$$, яка використовується для розв'язку через формулу $$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$$. 3. Після множення $$A^{-1}$$ на $$b$$, отримано результат: $$x_1 = 2$$, $$x_2 = -2$$, $$x_3 = -2$$. Чи потрібні деталі або додаткові пояснення? Ось 5 запитань для розширення: 1. Як знайти обернену матрицю вручну? 2. Що таке визначник матриці і чому він важливий? 3. Які інші методи розв'язку систем лінійних рівнянь існують? 4. Як застосовується метод Крамера для розв'язку систем рівнянь? 5. Що таке множення матриць і як воно працює? **Порада:** Обернена матриця існує лише тоді, коли визначник матриці відмінний від нуля.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Matrix Inversion
Systems of Linear Equations

Formulas

Matrix equation A * x = b
Inverse matrix formula A^(-1)
Determinant of a matrix
Algebraic complements and transposition

Theorems

Matrix inversion theorem
Determinant theorem for invertibility

Suitable Grade Level

Grades 10-12 or College

Related Recommendation

Solving System of Linear Equations Using Matrix Inversion (3x3 System)

Solving a System of Linear Equations using Inverse Matrix Method: 4x1 + x2 - 5x3 = 16, x1 + 2x2 - 4x3 = 6, -2x2 - x3 = 6

Solving a System of Linear Equations Using Inverse Matrix

Solve System of Linear Equations using Matrix Inversion Method

Solving Systems of Equations Using Matrix Inversion