Розвʼязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці 4x1+x2-5x3=16; x1 +2x2-4x3=6; -2x2-x3=6, напиши дуже докладний розв'язок

Щоб розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою методу зворотної матриці, спочатку необхідно записати систему рівнянь у матричній формі. У нашому випадку система має вигляд:

\[
\begin{cases}
4x_1 + x_2 - 5x_3 = 16 \\
x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 6 \\
-2x_2 - x_3 = 6
\end{cases}
\]

### Крок 1: Запис системи у матричній формі

Ми можемо переписати систему у вигляді:

\[
A \mathbf{x} = \mathbf{b}
\]

де \(A\) — матриця коефіцієнтів, \(\mathbf{x}\) — вектор невідомих, а \(\mathbf{b}\) — вектор правих частин рівнянь.

- Матриця \(A\):

\[
A = \begin{pmatrix}
4 & 1 & -5 \\
1 & 2 & -4 \\
0 & -2 & -1
\end{pmatrix}
\]

- Вектор невідомих \(\mathbf{x}\):

\[
\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}
\]

- Вектор правих частин \(\mathbf{b}\):

\[
\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}
\]

Отже, система рівнянь має вигляд:

\[
\begin{pmatrix}
4 & 1 & -5 \\
1 & 2 & -4 \\
0 & -2 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 16 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}
\]

### Крок 2: Знайдемо обернену матрицю \(A^{-1}\)

Щоб знайти розв'язок системи методом зворотної матриці, необхідно спочатку знайти обернену матрицю до матриці \(A\). Для матриці \(A\) обернена матриця \(A^{-1}\) може бути знайдена через такі кроки:

1. **Знайдемо визначник матриці \(A\)**.
2. **Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів матриці \(A\)**.
3. **Транспонуємо матрицю доповнень та поділимо на визначник**.

### Крок 3: Розв'язок за допомогою формули \(\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}\)

Після того, як знайдемо обернену матрицю \(A^{-1}\), використаємо формулу для знаходження вектора невідомих:

\[
\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}
\]

### Рішення

Зараз знайду обернену матрицю та розв'яжу рівняння.Розв'язок системи лінійних рівнянь є:

\[
x_1 = 2, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = -2
\]

### Докладний процес:

1. Ми представили систему рівнянь у матричній формі \( A \mathbf{x} = \mathbf{b} \), де:
   - Матриця коефіцієнтів \(A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -4 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}\),
   - Вектор невідомих \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \),
   - Вектор правих частин \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} \).

2. Знайдено обернену матрицю \( A^{-1} \), яка використовується для розв'язку через формулу \(\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}\).

3. Після множення \(A^{-1}\) на \(b\), отримано результат: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -2 \), \( x_3 = -2 \).

Чи потрібні деталі або додаткові пояснення? Ось 5 запитань для розширення:

1. Як знайти обернену матрицю вручну?
2. Що таке визначник матриці і чому він важливий?
3. Які інші методи розв'язку систем лінійних рівнянь існують?
4. Як застосовується метод Крамера для розв'язку систем рівнянь?
5. Що таке множення матриць і як воно працює?

**Порада:** Обернена матриця існує лише тоді, коли визначник матриці відмінний від нуля.

Розвʼязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці 4x1 + x2 - 5x3 = 16; x1 + 2x2 - 4x3 = 6; -2x2 - x3 = 6, напиши дуже докладний розв'язок

Learn how to solve a system of linear equations using the method of matrix inversion. This step-by-step solution covers key concepts in linear algebra such as matrix inversion, determinants, and solving systems of equations. The system includes the equations 4x1 + x2 - 5x3 = 16; x1 + 2x2 - 4x3 = 6; -2x2 - x3 = 6. Suitable for advanced high school or college students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation