Розвʼязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці 4x1+x2-5x3=16; x1 +2x2-4x3=6; -2x2-x3=6

Система лінійних алгебраїчних рівнянь:

\[
\begin{cases}
4x_1 + x_2 - 5x_3 = 16 \\
x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 6 \\
-2x_2 - x_3 = 6
\end{cases}
\]

Щоб розв'язати цю систему за допомогою зворотної матриці, спочатку потрібно представити систему у матричному вигляді:

### Крок 1: Представимо систему в матричній формі

Ми можемо переписати систему у вигляді:

\[
A \mathbf{x} = \mathbf{b}
\]

де:

\[
A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -4 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}, \quad
\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad
\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}
\]

### Крок 2: Обчислимо обернену матрицю \( A^{-1} \)

Для розв'язання системи рівнянь використовуючи зворотну матрицю, спочатку потрібно знайти матрицю \( A^{-1} \).

Обчислимо \( A^{-1} \), а потім знайдемо розв'язок за формулою:

\[
\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}
\]

Давайте обчислимо \( A^{-1} \) і знайдемо розв'язок.Розв'язок системи лінійних рівнянь:

\[
x_1 = 2, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = -2
\]

Якщо у вас є питання чи потрібні додаткові пояснення, дайте знати!

Ось 5 питань для подальшого вивчення:
1. Як знаходиться обернена матриця вручну?
2. Які умови повинна задовольняти матриця, щоб мати обернену?
3. Як перевірити правильність розв'язку системи лінійних рівнянь?
4. Що відбувається, якщо матриця є виродженою (не має оберненої)?
5. Як розв'язати систему рівнянь за допомогою методу Гауса?

**Порада:** Завжди перевіряйте, чи є визначник матриці ненульовим перед обчисленням оберненої, оскільки обернена існує лише для матриць з ненульовим визначником.

Discover how to solve the system of linear equations 4x1 + x2 - 5x3 = 16; x1 + 2x2 - 4x3 = 6; -2x2 - x3 = 6 using the inverse matrix method. This guide covers key concepts in linear algebra, such as matrix inversion, determinant calculation, and solving systems of equations. Suitable for students in Grades 11-12 and early university learners.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation