Math Problem Statement

Розвʼязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці 4x1+x2-5x3=16; x1 +2x2-4x3=6; -2x2-x3=6

Solution

Система лінійних алгебраїчних рівнянь:

4x_1 + x_2 - 5x_3 = 16 \\ x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 6 \\ -2x_2 - x_3 = 6 \end{cases}$$ Щоб розв'язати цю систему за допомогою зворотної матриці, спочатку потрібно представити систему у матричному вигляді: ### Крок 1: Представимо систему в матричній формі Ми можемо переписати систему у вигляді: $$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$ де: $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -4 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}$$ ### Крок 2: Обчислимо обернену матрицю $$A^{-1}$$ Для розв'язання системи рівнянь використовуючи зворотну матрицю, спочатку потрібно знайти матрицю $$A^{-1}$$. Обчислимо $$A^{-1}$$, а потім знайдемо розв'язок за формулою: $$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$$ Давайте обчислимо $$A^{-1}$$ і знайдемо розв'язок.Розв'язок системи лінійних рівнянь: $$x_1 = 2, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = -2$$ Якщо у вас є питання чи потрібні додаткові пояснення, дайте знати! Ось 5 питань для подальшого вивчення: 1. Як знаходиться обернена матриця вручну? 2. Які умови повинна задовольняти матриця, щоб мати обернену? 3. Як перевірити правильність розв'язку системи лінійних рівнянь? 4. Що відбувається, якщо матриця є виродженою (не має оберненої)? 5. Як розв'язати систему рівнянь за допомогою методу Гауса? **Порада:** Завжди перевіряйте, чи є визначник матриці ненульовим перед обчисленням оберненої, оскільки обернена існує лише для матриць з ненульовим визначником.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Matrix Inversion
Systems of Equations

Formulas

Ax = b
A^(-1)b
Inverse Matrix Formula
Determinant of a Matrix

Theorems

Inverse Matrix Theorem
Cramer's Rule

Suitable Grade Level

Grades 11-12 or early university level

Related Recommendation

Solving System of Linear Equations Using Matrix Inversion (3x3 System)

Solving a System of Linear Equations Using Inverse Matrix

Solving a System of Linear Equations Using Matrix Inversion

Solving a System of Linear Equations using Matrices and Gaussian Elimination

Solve a System of Equations Using the Inverse Matrix Method