Math Problem Statement
selesaikan relasi rekursi berikut aₙ = 2aₙ₋₁; a₀ = 3
Solution
Untuk menyelesaikan relasi rekursi dengan kondisi awal , kita dapat menggunakan langkah-langkah berikut:
Langkah 1: Menuliskan beberapa suku pertama untuk pola
Dengan , kita dapat mencari beberapa suku pertama secara manual:
- (diberikan)
Jadi, suku-suku pertama adalah .
Langkah 2: Menemukan bentuk umum
Berdasarkan pola rekursif, kita bisa menyimpulkan bahwa setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2. Ini berarti bahwa:
Pembuktian
Kita dapat membuktikan bentuk ini dengan induksi:
-
Basis Induksi: Untuk , Jadi, bentuk umum benar untuk .
-
Hipotesis Induksi: Misalkan bentuk umum benar untuk , yaitu .
-
Langkah Induksi: Periksa untuk : Dengan demikian, bentuk umum juga benar untuk .
Dengan demikian, bentuk umum untuk adalah:
Jawaban Akhir
Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?
Pertanyaan Tambahan:
- Bagaimana cara menyelesaikan rekursi jika konstanta awal berbeda?
- Bagaimana bentuk umum berubah jika faktor pengali bukan 2?
- Apa yang terjadi jika ada tambahan konstanta dalam relasi rekursi?
- Bagaimana jika relasi rekursi diberikan dalam bentuk yang lebih kompleks?
- Bagaimana cara memverifikasi bentuk umum untuk rekursi yang lebih rumit?
Tip
Penting untuk memahami dasar-dasar induksi matematika, karena ini adalah alat yang kuat untuk membuktikan bentuk umum dalam relasi rekursi.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Recurrence Relations
Sequences
Mathematical Induction
Formulas
aₙ = 3 × 2^n
Theorems
Principle of Mathematical Induction
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Understanding Recurrence Relations: Solving a_n = 2a_(n-1) + 2a_(n-2)
Solving the Recursive Sequence a_n = 2a_{n-1} + a_{n-2} - 2a_{n-3} with Initial Conditions
Recurrence Relation Solution for a_n = 2a_{n-1} + 3 - 6a_{n-3} with Initial Conditions
Solve Recursive Sequence Problem: Finding a_6
Calculate the First Seven Terms of a Sequence Using Recurrence Relations