Math Problem Statement

selesaikan relasi rekursi berikut aₙ = 2aₙ₋₁; a₀ = 3

Solution

Untuk menyelesaikan relasi rekursi an=2an1a_n = 2a_{n-1} dengan kondisi awal a0=3a_0 = 3, kita dapat menggunakan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Menuliskan beberapa suku pertama untuk pola

Dengan an=2an1a_n = 2a_{n-1}, kita dapat mencari beberapa suku pertama secara manual:

  1. a0=3a_0 = 3 (diberikan)
  2. a1=2a0=2×3=6a_1 = 2a_0 = 2 \times 3 = 6
  3. a2=2a1=2×6=12a_2 = 2a_1 = 2 \times 6 = 12
  4. a3=2a2=2×12=24a_3 = 2a_2 = 2 \times 12 = 24
  5. a4=2a3=2×24=48a_4 = 2a_3 = 2 \times 24 = 48

Jadi, suku-suku pertama adalah 3,6,12,24,48,3, 6, 12, 24, 48, \ldots.

Langkah 2: Menemukan bentuk umum

Berdasarkan pola rekursif, kita bisa menyimpulkan bahwa setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2. Ini berarti bahwa:

an=3×2na_n = 3 \times 2^n

Pembuktian

Kita dapat membuktikan bentuk ini dengan induksi:

  1. Basis Induksi: Untuk n=0n = 0, a0=3=3×20a_0 = 3 = 3 \times 2^0 Jadi, bentuk umum benar untuk n=0n = 0.

  2. Hipotesis Induksi: Misalkan bentuk umum benar untuk n=kn = k, yaitu ak=3×2ka_k = 3 \times 2^k.

  3. Langkah Induksi: Periksa untuk n=k+1n = k+1: ak+1=2ak=2×(3×2k)=3×2k+1a_{k+1} = 2a_k = 2 \times (3 \times 2^k) = 3 \times 2^{k+1} Dengan demikian, bentuk umum juga benar untuk n=k+1n = k+1.

Dengan demikian, bentuk umum untuk ana_n adalah: an=3×2na_n = 3 \times 2^n

Jawaban Akhir

an=3×2na_n = 3 \times 2^n

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Pertanyaan Tambahan:

  1. Bagaimana cara menyelesaikan rekursi jika konstanta awal a0a_0 berbeda?
  2. Bagaimana bentuk umum berubah jika faktor pengali bukan 2?
  3. Apa yang terjadi jika ada tambahan konstanta dalam relasi rekursi?
  4. Bagaimana jika relasi rekursi diberikan dalam bentuk yang lebih kompleks?
  5. Bagaimana cara memverifikasi bentuk umum untuk rekursi yang lebih rumit?

Tip

Penting untuk memahami dasar-dasar induksi matematika, karena ini adalah alat yang kuat untuk membuktikan bentuk umum dalam relasi rekursi.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Recurrence Relations
Sequences
Mathematical Induction

Formulas

aₙ = 3 × 2^n

Theorems

Principle of Mathematical Induction

Suitable Grade Level

Grades 10-12