Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = ax^2+bx+c jest równa -4 Zbiorem rozwiązań nierówności f(x) < 0 jest przedział (-2, 6). Oblicz wartości współczynników a, b, c funkcji f.

Aby rozwiązać problem i znaleźć współczynniki \(a\), \(b\), \(c\) funkcji kwadratowej \(f(x) = ax^2 + bx + c\), wykonajmy następujące kroki:

---

### Informacje i równania wyjściowe
1. Funkcja osiąga najmniejszą wartość \(f(x) = -4\). Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej występuje w wierzchołku, którego współrzędne to:
   \[
   x_w = -\frac{b}{2a}, \quad f(x_w) = -4.
   \]

2. Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) < 0\) jest przedział \((-2, 6)\). To oznacza, że:
   - Pierwiastki funkcji (miejsce zerowe) to \(x_1 = -2\) i \(x_2 = 6\).
   - Postać iloczynowa funkcji to:
     \[
     f(x) = a(x + 2)(x - 6).
     \]

3. Dodatkowo współczynnik \(a\) określa, że \(a > 0\) (ramiona paraboli są skierowane w górę, ponieważ funkcja ma najmniejszą wartość).

---

### Rozwiązanie krok po kroku

#### 1. Wyznaczenie współczynnika \(a\)
Najmniejsza wartość \(f(x) = -4\) występuje w wierzchołku paraboli. Wierzchołek funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej ma współrzędną:
\[
x_w = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2.
\]
Podstawmy \(x_w = 2\) do funkcji:
\[
f(x_w) = a(2 + 2)(2 - 6) = a \cdot 4 \cdot (-4) = -16a.
\]
Z warunku \(f(x_w) = -4\):
\[
-16a = -4 \implies a = \frac{1}{4}.
\]

#### 2. Postać funkcji
Podstawiamy \(a = \frac{1}{4}\) do postaci iloczynowej:
\[
f(x) = \frac{1}{4}(x + 2)(x - 6).
\]

#### 3. Wyznaczenie współczynników \(b\) i \(c\)
Rozwińmy postać funkcji:
\[
f(x) = \frac{1}{4}(x^2 - 4x - 12) = \frac{1}{4}x^2 - x - 3.
\]
Stąd:
\[
a = \frac{1}{4}, \quad b = -1, \quad c = -3.
\]

---

### Odpowiedź
Współczynniki funkcji to:
\[
a = \frac{1}{4}, \quad b = -1, \quad c = -3.
\]

Czy masz pytania? 😊

---

### Dodatkowe pytania powiązane:
1. Jak znaleźć współrzędne wierzchołka paraboli w innych przykładach?
2. Jak interpretować rozwiązania nierówności kwadratowych na osi liczbowej?
3. Czy można sprawdzić poprawność rozwiązania za pomocą wykresu funkcji?
4. Jak wygląda rozwiązanie, jeśli zamiast \(f(x) < 0\) mamy \(f(x) > 0\)?
5. Jak zmienia się postać iloczynowa funkcji, gdy korzenie są zespolone?

---

### Tip:
Zawsze zwracaj uwagę, czy podane informacje (np. miejsca zerowe lub wartość funkcji w wierzchołku) są wystarczające do jednoznacznego określenia współczynników funkcji kwadratowej.

Explore how to solve a quadratic function problem where the minimum value is -4 and the solution set of f(x) < 0 is (-2, 6). Learn key concepts such as the vertex formula, factored form, and coefficient determination. Suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation