Aby rozwiązać problem i znaleźć współczynniki $a$, $b$, $c$ funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$, wykonajmy następujące kroki:

---

Informacje i równania wyjściowe

1. Funkcja osiąga najmniejszą wartość $f(x) = -4$. Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej występuje w wierzchołku, którego współrzędne to: $x_w = -\frac{b}{2a}, \quad f(x_w) = -4.$

2. Zbiorem rozwiązań nierówności $f(x) < 0$ jest przedział $(-2, 6)$. To oznacza, że:

   • Pierwiastki funkcji (miejsce zerowe) to $x_1 = -2$ i $x_2 = 6$.
   • Postać iloczynowa funkcji to: $f(x) = a(x + 2)(x - 6).$

3. Dodatkowo współczynnik $a$ określa, że $a > 0$ (ramiona paraboli są skierowane w górę, ponieważ funkcja ma najmniejszą wartość).

---

Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyznaczenie współczynnika $a$

Najmniejsza wartość $f(x) = -4$ występuje w wierzchołku paraboli. Wierzchołek funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej ma współrzędną: $x_w = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2.$ Podstawmy $x_w = 2$ do funkcji: $f(x_w) = a(2 + 2)(2 - 6) = a \cdot 4 \cdot (-4) = -16a.$ Z warunku $f(x_w) = -4$: $-16a = -4 \implies a = \frac{1}{4}.$

2. Postać funkcji

Podstawiamy $a = \frac{1}{4}$ do postaci iloczynowej: $f(x) = \frac{1}{4}(x + 2)(x - 6).$

3. Wyznaczenie współczynników $b$ i $c$

Rozwińmy postać funkcji: $f(x) = \frac{1}{4}(x^2 - 4x - 12) = \frac{1}{4}x^2 - x - 3.$ Stąd: $a = \frac{1}{4}, \quad b = -1, \quad c = -3.$

---

Odpowiedź

Współczynniki funkcji to: $a = \frac{1}{4}, \quad b = -1, \quad c = -3.$

Czy masz pytania? 😊

---

Dodatkowe pytania powiązane:

1. Jak znaleźć współrzędne wierzchołka paraboli w innych przykładach?
2. Jak interpretować rozwiązania nierówności kwadratowych na osi liczbowej?
3. Czy można sprawdzić poprawność rozwiązania za pomocą wykresu funkcji?
4. Jak wygląda rozwiązanie, jeśli zamiast $f(x) < 0$ mamy $f(x) > 0$?
5. Jak zmienia się postać iloczynowa funkcji, gdy korzenie są zespolone?

---

Tip:

Zawsze zwracaj uwagę, czy podane informacje (np. miejsca zerowe lub wartość funkcji w wierzchołku) są wystarczające do jednoznacznego określenia współczynników funkcji kwadratowej.