La ecuación logarítmica mostrada en la imagen es:

$\frac{\log(x^2 - 2x + 3)}{\log(x)} = 2$

Vamos a resolverla paso a paso:

Paso 1: Multiplicar ambos lados por $\log(x)$

Multiplicamos ambos lados de la ecuación para eliminar el denominador:

$\log(x^2 - 2x + 3) = 2\log(x)$

Paso 2: Aplicar propiedades de los logaritmos

Usamos la propiedad $n\log(a) = \log(a^n)$ en el lado derecho:

$\log(x^2 - 2x + 3) = \log(x^2)$

Paso 3: Igualar los argumentos

Como los logaritmos son iguales, los argumentos también deben ser iguales:

$x^2 - 2x + 3 = x^2$

Paso 4: Simplificar la ecuación

Restamos $x^2$ de ambos lados:

$-2x + 3 = 0$

Paso 5: Resolver para $x$

Despejamos $x$:

$-2x = -3 \implies x = \frac{3}{2}$

Paso 6: Verificar restricciones

Los logaritmos solo están definidos para valores positivos. Debemos verificar que $x > 0$ y que el argumento $x^2 - 2x + 3 > 0$:

1. $x > 0$, lo cual es cierto para $x = \frac{3}{2}$.
2. $x^2 - 2x + 3 > 0$: El discriminante de $x^2 - 2x + 3$ es negativo ($(-2)^2 - 4(1)(3) = -8$), así que la parábola nunca toca el eje $x$ y siempre es positiva.

Por lo tanto, $x = \frac{3}{2}$ satisface todas las restricciones.

Respuesta final:

$x = \frac{3}{2}$

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se pueden aplicar otras propiedades logarítmicas en ecuaciones similares?
2. ¿Qué sucede si el discriminante del argumento del logaritmo es positivo?
3. ¿Cómo resolverías esta ecuación si el exponente fuera diferente?
4. ¿Qué métodos usarías para ecuaciones logarítmicas con bases distintas?
5. ¿Cómo podrías graficar esta ecuación logarítmica para verificar su solución?

Tip:

Recuerda siempre verificar las restricciones de los logaritmos al final de cualquier solución.