Για την άσκηση 1.16, έχουμε τα εξής:

Δίνεται:

Η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, συνεχής, και η παρακάτω σχέση για το όριο: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2}{1 - \sin x} = 4$

Ζητούμενα:

• (α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$, $C_f$, διέρχεται από το σημείο $A(0, -2)$.
• (β) Να βρείτε το όριο $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2}{x^2}$.

Λύση:

(α) Απόδειξη ότι η $C_f$ διέρχεται από το σημείο $A(0, -2)$

Αρχικά, χρησιμοποιούμε το δεδομένο όριο: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2}{1 - \sin x} = 4$ Εξετάζουμε το όριο του παρονομαστή καθώς το $x$ τείνει στο 0. Γνωρίζουμε ότι: $\sin(0) = 0 \quad \text{άρα} \quad 1 - \sin x \to 1 \quad \text{όταν} \quad x \to 0$ Επομένως, το όριο γίνεται: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2}{1} = 4 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 0} (f(x) + 2) = 4$ Άρα: $f(0) + 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad f(0) = 2$

Από την υπόθεση ότι $f(0) = -2$, το σημείο $A(0, -2)$ ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

(β) Υπολογισμός του ορίου $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2}{x^2}$

Εφόσον από το προηγούμενο βρήκαμε ότι $f(0) = -2$, η έκφραση $f(x) + 2$ τείνει στο 0 καθώς $x \to 0$. Χρειαζόμαστε τον ρυθμό με τον οποίο το $f(x) + 2$ τείνει στο 0 σε σχέση με το $x^2$.

Για να βρούμε το όριο, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του L'Hopital, διότι το όριο έχει τη μορφή $\frac{0}{0}$: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2}{x^2}$ Εφαρμόζοντας τον κανόνα του L'Hopital, βρίσκουμε το παράγωγο του αριθμητή και του παρονομαστή: $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{2x}$ Εφόσον η συνάρτηση $f(x)$ είναι συνεχής, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε επιπλέον πληροφορίες από την παράγωγο της συνάρτησης για να συνεχίσουμε την επίλυση, ανάλογα με τα δεδομένα του προβλήματος.

Θέλεις περισσότερες λεπτομέρειες ή έχεις κάποια απορία;

Σχετικές ερωτήσεις:

1. Πώς εφαρμόζεται ο κανόνας του L'Hopital σε όρια;
2. Τι ιδιότητες έχει μια συνεχής συνάρτηση;
3. Πώς επηρεάζει το σημείο διέλευσης της γραφικής παράστασης τη συμπεριφορά της συνάρτησης;
4. Ποια είναι η διαδικασία για τον υπολογισμό παραγώγων που χρησιμοποιούνται στα όρια;
5. Πώς μπορούμε να εκτιμήσουμε τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης γύρω από το σημείο μηδέν;

Συμβουλή:

Σε όρια που έχουν τη μορφή $\frac{0}{0}$, ο κανόνας του L'Hopital είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για την εύρεση του ακριβούς ορίου.