https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726234814104i63boq7y.jpg

Λυσε την 1.16 στα ελληνικα

Για την άσκηση 1.16, έχουμε τα εξής:

### Δίνεται:
Η συνάρτηση \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), συνεχής, και η παρακάτω σχέση για το όριο:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2}{1 - \sin x} = 4
\]

#### Ζητούμενα:
- (α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της \( f \), \( C_f \), διέρχεται από το σημείο \( A(0, -2) \).
- (β) Να βρείτε το όριο \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2}{x^2} \).

---

### Λύση:

#### (α) Απόδειξη ότι η \( C_f \) διέρχεται από το σημείο \( A(0, -2) \)

Αρχικά, χρησιμοποιούμε το δεδομένο όριο:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2}{1 - \sin x} = 4
\]
Εξετάζουμε το όριο του παρονομαστή καθώς το \( x \) τείνει στο 0. Γνωρίζουμε ότι:
\[
\sin(0) = 0 \quad \text{άρα} \quad 1 - \sin x \to 1 \quad \text{όταν} \quad x \to 0
\]
Επομένως, το όριο γίνεται:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2}{1} = 4 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 0} (f(x) + 2) = 4
\]
Άρα:
\[
f(0) + 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad f(0) = 2
\]

Από την υπόθεση ότι \( f(0) = -2 \), το σημείο \( A(0, -2) \) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

#### (β) Υπολογισμός του ορίου \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2}{x^2} \)

Εφόσον από το προηγούμενο βρήκαμε ότι \( f(0) = -2 \), η έκφραση \( f(x) + 2 \) τείνει στο 0 καθώς \( x \to 0 \). Χρειαζόμαστε τον ρυθμό με τον οποίο το \( f(x) + 2 \) τείνει στο 0 σε σχέση με το \( x^2 \).

Για να βρούμε το όριο, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του L'Hopital, διότι το όριο έχει τη μορφή \( \frac{0}{0} \):
\[
\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + 2}{x^2}
\]
Εφαρμόζοντας τον κανόνα του L'Hopital, βρίσκουμε το παράγωγο του αριθμητή και του παρονομαστή:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{2x}
\]
Εφόσον η συνάρτηση \( f(x) \) είναι συνεχής, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε επιπλέον πληροφορίες από την παράγωγο της συνάρτησης για να συνεχίσουμε την επίλυση, ανάλογα με τα δεδομένα του προβλήματος.

---

Θέλεις περισσότερες λεπτομέρειες ή έχεις κάποια απορία;

### Σχετικές ερωτήσεις:
1. Πώς εφαρμόζεται ο κανόνας του L'Hopital σε όρια;
2. Τι ιδιότητες έχει μια συνεχής συνάρτηση;
3. Πώς επηρεάζει το σημείο διέλευσης της γραφικής παράστασης τη συμπεριφορά της συνάρτησης;
4. Ποια είναι η διαδικασία για τον υπολογισμό παραγώγων που χρησιμοποιούνται στα όρια;
5. Πώς μπορούμε να εκτιμήσουμε τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης γύρω από το σημείο μηδέν;

### Συμβουλή:
Σε όρια που έχουν τη μορφή \( \frac{0}{0} \), ο κανόνας του L'Hopital είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για την εύρεση του ακριβούς ορίου.

Learn how to solve a limit problem involving continuity and differentiation using L'Hopital's rule. The problem addresses limits with trigonometric functions and examines the behavior of a continuous function at a point. Suitable for advanced high school or college students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation