Mari kita selesaikan kedua limit ini satu per satu.

1. $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2 \cos 2x}$

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu memahami perilaku fungsi di sekitar $x = \frac{\pi}{2}$.

1. Substitusi Langsung: $\cos(2x) \text{ pada } x = \frac{\pi}{2} \text{ adalah } \cos(\pi) = -1$ Jadi substitusi langsung ke dalam ekspresi: $\frac{1 - \cos(2 \times \frac{\pi}{2})}{2 \cos(2 \times \frac{\pi}{2})} = \frac{1 - \cos(\pi)}{2 \cos(\pi)} = \frac{1 - (-1)}{2 (-1)} = \frac{1 + 1}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$ Jadi, hasil limit pertama adalah: $\boxed{-1}$

2. $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 - \tan x}{\sin x - \cos x}$

Untuk limit ini, kita juga bisa menggunakan substitusi langsung, tetapi kita juga bisa memeriksa bentuk tak tentu dan menggunakan aljabar atau aturan L'Hôpital jika diperlukan.

1. Substitusi Langsung: $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1, \quad \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Jadi substitusi langsung memberikan: $\frac{1 - \tan \left(\frac{\pi}{4}\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1 - 1}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{0}{0}$ Karena bentuk ini adalah tak tentu $\frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan aljabar atau aturan L'Hôpital.

2. Aturan L'Hôpital: Kita terapkan aturan L'Hôpital yang mengatakan bahwa: $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ jika limit dari fungsi-fungsi tersebut berbentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$.

   Jadi, kita diferensialkan pembilang dan penyebut: $f(x) = 1 - \tan x \implies f'(x) = -\sec^2 x$ $g(x) = \sin x - \cos x \implies g'(x) = \cos x + \sin x$ Maka: $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sec^2 x}{\cos x + \sin x}$ Pada $x = \frac{\pi}{4}$: $\sec^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = 2 \quad \text{dan} \quad \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ Jadi, limitnya adalah: $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-2}{\sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$ Jadi, hasil limit kedua adalah: $\boxed{-\sqrt{2}}$

Jika ada pertanyaan atau ingin penjelasan lebih lanjut, silakan tanya!

Berikut beberapa pertanyaan yang bisa kamu tanyakan:

1. Bagaimana cara menggunakan aturan L'Hôpital untuk bentuk tak tentu lainnya?
2. Dapatkah kita menyelesaikan limit menggunakan seri Taylor?
3. Apa itu bentuk tak tentu dan bagaimana cara mengatasinya?
4. Bagaimana cara menyelesaikan integral yang sulit?
5. Apa itu diferensial parsial dan bagaimana cara menghitungnya?

Tip: Saat menghadapi limit dengan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, aturan L'Hôpital sering kali berguna untuk menyederhanakan dan menyelesaikan masalah.