برای حل انتگرال زیر با استفاده از تغییر متغیر اویلر:

$\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 + 4x - 4}} \, dx$

قدم اول: تکمیل مربع

ابتدا عبارت زیر رادیکال را به صورت مربع کامل می‌نویسیم:

$x^2 + 4x - 4 = \left(x^2 + 4x + 4 - 4 - 4\right) = (x + 2)^2 - 8$

بنابراین، انتگرال به فرم زیر تبدیل می‌شود:

$\int \frac{1}{x \sqrt{(x + 2)^2 - 8}} \, dx$

قدم دوم: تغییر متغیر اویلر

حالا از تغییر متغیر اویلر مناسب استفاده می‌کنیم. برای حالتی که فرم زیر رادیکال به صورت $(x + a)^2 - b^2$ است، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌شود:

$x + 2 = \sqrt{8} \sec(\theta)$

مشتق $x$ نسبت به $\theta$ به صورت زیر است:

$dx = \sqrt{8} \sec(\theta) \tan(\theta) d\theta$

جایگذاری این تغییر متغیر در انتگرال:

$\int \frac{1}{\sqrt{8} \sec(\theta) \cdot \sqrt{8} \sec(\theta) \tan(\theta)} \cdot \sqrt{8} \sec(\theta) \tan(\theta) d\theta$

این انتگرال به فرم ساده‌تر زیر تبدیل می‌شود:

$\frac{1}{8} \int d\theta = \frac{\theta}{8} + C$

قدم سوم: بازگرداندن متغیر به $x$

با استفاده از تغییر متغیر اویلر:

$\theta = \sec^{-1}\left(\frac{x+2}{\sqrt{8}}\right)$

بنابراین جواب نهایی به شکل زیر است:

$\frac{1}{8} \sec^{-1}\left(\frac{x+2}{\sqrt{8}}\right) + C$

این نتیجه انتگرال اصلی است.

آیا به جزئیات بیشتری نیاز دارید یا سوال دیگری دارید؟ در ادامه 5 سوال مرتبط برای بررسی و مطالعه بیشتر:

1. چه مواقعی تغییر متغیر اویلر به روش‌های دیگر ترجیح داده می‌شود؟
2. تغییر متغیر اویلر در حل معادلات دیفرانسیل چه کاربردی دارد؟
3. آیا فرم‌های دیگری از تغییر متغیر اویلر وجود دارد؟
4. چطور می‌توان این نوع انتگرال‌ها را به کمک جدول انتگرال‌ها حل کرد؟
5. تفاوت این روش با روش‌های تبدیل تریگومتری چیست؟

نکته: هنگام استفاده از تغییر متغیر اویلر، دقت کنید که فرم مناسب آن را بسته به ساختار زیر رادیکال انتخاب کنید.