4. Un anciano deja una herencia en “2mn” soles a un
cierto número de parientes. Sin embargo, “m” de ellos
renuncian a su parte y entonces, cada uno de los
restantes se beneficia en “n” soles más, ¿cuántos son
los parientes?
a) n
b) m
c) 2m
d) mn

El problema trata sobre la distribución de una herencia entre un cierto número de parientes, pero algunos de ellos renuncian a su parte, lo que aumenta la cantidad que reciben los demás.

Vamos a desglosarlo:

1. **Herencia Total**: La herencia total es \( 2mn \) soles.
2. **Número Original de Parientes**: Sea \( x \) el número original de parientes.
3. **Cada Pariente Recibe**: Inicialmente, cada pariente recibiría \( \frac{2mn}{x} \) soles.
4. **Parientes que Renuncian**: \( m \) parientes renuncian a su parte, por lo que quedan \( x - m \) parientes.
5. **Nueva Cantidad por Pariente**: Después de la renuncia, cada uno de los restantes parientes recibe \( \frac{2mn}{x - m} \) soles.
6. **Diferencia en la Cantidad Recibida**: Se dice que cada uno de los restantes recibe \( n \) soles más, es decir:

\[
\frac{2mn}{x - m} = \frac{2mn}{x} + n
\]

Ahora, despejamos \( x \):

\[
\frac{2mn}{x - m} - \frac{2mn}{x} = n
\]

Llevamos los términos a un denominador común:

\[
\frac{2mn(x) - 2mn(x - m)}{x(x - m)} = n
\]

Simplificamos el numerador:

\[
\frac{2mnx - 2mnx + 2mnm}{x(x - m)} = n
\]

\[
\frac{2mnm}{x(x - m)} = n
\]

Multiplicamos ambos lados por \( x(x - m) \) para eliminar el denominador:

\[
2mnm = n \cdot x(x - m)
\]

Cancelamos \( n \) en ambos lados (asumiendo que \( n \neq 0 \)):

\[
2m^2 = x(x - m)
\]

Esto es una ecuación cuadrática en \( x \). Si la resolvemos, obtenemos:

\[
x^2 - mx - 2m^2 = 0
\]

Aplicamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática:

\[
x = \frac{-(-m) \pm \sqrt{(-m)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2m^2}}{2 \cdot 1}
\]

Simplificamos:

\[
x = \frac{m \pm \sqrt{m^2 + 8m^2}}{2}
\]

\[
x = \frac{m \pm \sqrt{9m^2}}{2}
\]

\[
x = \frac{m \pm 3m}{2}
\]

Esto da dos soluciones:

\[
x = \frac{4m}{2} = 2m \quad \text{o} \quad x = \frac{-2m}{2} = -m
\]

Como el número de parientes no puede ser negativo, la única solución válida es:

\[
x = 2m
\]

Por lo tanto, la respuesta correcta es:

**c) \( 2m \)**

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática de forma general?
2. ¿Qué ocurre si \( n = 0 \) en la ecuación?
3. ¿Cómo afectaría a la solución si más parientes renuncian a la herencia?
4. ¿Cómo se calcula la cantidad que recibe cada pariente después de que otros renuncian?
5. ¿Qué otras fórmulas cuadráticas son útiles para resolver problemas de herencias o distribución?

**Tip:** Cuando trabajes con ecuaciones cuadráticas, recuerda siempre verificar todas las soluciones, especialmente en el contexto de problemas de la vida real, donde algunas respuestas pueden no tener sentido físico o práctico.

Learn how to solve a complex inheritance distribution problem involving renouncing relatives. Understand the mathematical approach to solving equations and distributing inheritances effectively. Suitable for advanced high school students and beyond.

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