El problema trata sobre la distribución de una herencia entre un cierto número de parientes, pero algunos de ellos renuncian a su parte, lo que aumenta la cantidad que reciben los demás.

Vamos a desglosarlo:

1. Herencia Total: La herencia total es $2mn$ soles.
2. Número Original de Parientes: Sea $x$ el número original de parientes.
3. Cada Pariente Recibe: Inicialmente, cada pariente recibiría $\frac{2mn}{x}$ soles.
4. Parientes que Renuncian: $m$ parientes renuncian a su parte, por lo que quedan $x - m$ parientes.
5. Nueva Cantidad por Pariente: Después de la renuncia, cada uno de los restantes parientes recibe $\frac{2mn}{x - m}$ soles.
6. Diferencia en la Cantidad Recibida: Se dice que cada uno de los restantes recibe $n$ soles más, es decir:

$\frac{2mn}{x - m} = \frac{2mn}{x} + n$

Ahora, despejamos $x$:

$\frac{2mn}{x - m} - \frac{2mn}{x} = n$

Llevamos los términos a un denominador común:

$\frac{2mn(x) - 2mn(x - m)}{x(x - m)} = n$

Simplificamos el numerador:

$\frac{2mnx - 2mnx + 2mnm}{x(x - m)} = n$

$\frac{2mnm}{x(x - m)} = n$

Multiplicamos ambos lados por $x(x - m)$ para eliminar el denominador:

$2mnm = n \cdot x(x - m)$

Cancelamos $n$ en ambos lados (asumiendo que $n \neq 0$):

$2m^2 = x(x - m)$

Esto es una ecuación cuadrática en $x$. Si la resolvemos, obtenemos:

$x^2 - mx - 2m^2 = 0$

Aplicamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática:

$x = \frac{-(-m) \pm \sqrt{(-m)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2m^2}}{2 \cdot 1}$

Simplificamos:

$x = \frac{m \pm \sqrt{m^2 + 8m^2}}{2}$

$x = \frac{m \pm \sqrt{9m^2}}{2}$

$x = \frac{m \pm 3m}{2}$

Esto da dos soluciones:

$x = \frac{4m}{2} = 2m \quad \text{o} \quad x = \frac{-2m}{2} = -m$

Como el número de parientes no puede ser negativo, la única solución válida es:

$x = 2m$

Por lo tanto, la respuesta correcta es:

c) $2m$

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática de forma general?
2. ¿Qué ocurre si $n = 0$ en la ecuación?
3. ¿Cómo afectaría a la solución si más parientes renuncian a la herencia?
4. ¿Cómo se calcula la cantidad que recibe cada pariente después de que otros renuncian?
5. ¿Qué otras fórmulas cuadráticas son útiles para resolver problemas de herencias o distribución?

Tip: Cuando trabajes con ecuaciones cuadráticas, recuerda siempre verificar todas las soluciones, especialmente en el contexto de problemas de la vida real, donde algunas respuestas pueden no tener sentido físico o práctico.