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Kannst du diese Aufgabe lösen, aber nicht mit der angegebenen Tabelle, sondern mit einer Normalapproximation?

Ja, ich kann diese Aufgabe mit einer Normalapproximation lösen. Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir die Teststatistik \( R(\omega) \) berechnen und dann eine Normalapproximation der Binomialverteilung verwenden, um den p-Wert zu finden. 

### Schritte zur Lösung:

1. **Berechnung der Teststatistik \( R(\omega) \)**:
   \( R(\omega) = \#\{i < n : \omega_i \neq \omega_{i+1}\} \), wobei \( n = 100 \).

2. **Normalapproximation der Binomialverteilung**:
   Eine Binomialverteilung \( B(n, p) \) kann approximiert werden durch eine Normalverteilung \( N(np, \sqrt{np(1-p)}) \). Für diese Aufgabe ist \( n = 99 \) (weil wir 99 Übergänge betrachten) und \( p = 0.5 \).

3. **Berechnung des Mittelwerts und der Standardabweichung**:
   \[
   \mu = np = 99 \times 0.5 = 49.5
   \]
   \[
   \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{99 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{24.75} \approx 4.975
   \]

4. **Berechnung des z-Werts und des p-Werts**:
   \[
   z = \frac{R(\omega) - \mu}{\sigma}
   \]
   Den z-Wert können wir dann verwenden, um den p-Wert aus einer Standardnormalverteilung zu finden.

### Berechnung von \( R(\omega) \):

Jetzt berechnen wir die Anzahl der Übergänge in der gegebenen Sequenz. Die gegebene Sequenz ist:

\[ 
\begin{aligned}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{aligned}
\]

Wir zählen die Übergänge (Wechsel von 0 zu 1 oder von 1 zu 0):

\[
\begin{aligned}
\text{Zeile 1:} & 1, 2, 4, 7, 8, 9 \quad (6\ Übergänge) \\
\text{Zeile 2:} & 1, 2, 5, 8 \quad (4\ Übergänge) \\
\text{Zeile 3:} & 1, 2, 4, 8 \quad (4\ Übergänge) \\
\text{Zeile 4:} & 4, 5, 7, 8 \quad (4\ Übergänge) \\
\text{Zeile 5:} & 2, 3, 4, 5, 6, 8 \quad (6\ Übergänge) \\
\text{Zeile 6:} & 1, 3, 8 \quad (3\ Übergänge) \\
\text{Zeile 7:} & 1, 2, 7 \quad (3\ Übergänge) \\
\text{Zeile 8:} & 1, 3, 6 \quad (3\ Übergänge) \\
\text{Zeile 9:} & 5, 7, 8 \quad (3\ Übergänge) \\
\text{Zeile 10:} & 1, 7 \quad (2\ Übergänge) \\
\end{aligned}
\]

Gesamtzahl der Übergänge \( R(\omega) = 38 \).

### Berechnung des z-Werts und des p-Werts:

\[
z = \frac{38 - 49.5}{4.975} \approx -2.314
\]

Der p-Wert für \( z = -2.314 \) (zweiseitig) ergibt sich aus der Standardnormalverteilung:

\[
p = 2 \times P(Z \leq -2.314) \approx 2 \times 0.0103 = 0.0206
\]

Da der p-Wert \( 0.0206 \) kleiner als das Signifikanzniveau \( \alpha = 0.05 \) ist, lehnen wir die Nullhypothese ab. Die Sequenz ist nicht rein zufällig.

Möchtest du noch Details oder hast du Fragen? Hier sind einige Fragen, die du stellen könntest:

1. Wie wird die Normalapproximation der Binomialverteilung hergeleitet?
2. Kannst du erklären, was ein p-Wert ist und wie er interpretiert wird?
3. Wie berechnet man den z-Wert und warum ist er wichtig?
4. Was bedeutet es, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird?
5. Welche anderen Methoden gibt es zur Überprüfung der Zufälligkeit einer Sequenz?

**Tipp:** Bei der Verwendung von Normalapproximationen ist es wichtig sicherzustellen, dass die Bedingungen für deren Anwendung erfüllt sind, insbesondere wenn \( np \) und \( n(1-p) \) beide größer als 5 sind.

Learn how to solve a hypothesis testing problem using normal approximation. This detailed solution uses the binomial distribution and normal approximation formulas to test hypotheses effectively. Suitable for advanced mathematics students and statisticians.

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