 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thoả mãn điều kiện:
 f (x5 −y5) = x2f(x3)−y2f(y2)

Ta cần tìm tất cả các hàm số \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) thỏa mãn phương trình hàm:

\[
f(x^5 - y^5) = x^2 f(x^3) - y^2 f(y^3), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.
\]

### Bước 1: Thử giá trị đặc biệt
#### Trường hợp 1: Cho \( x = y = 0 \)
\[
f(0^5 - 0^5) = 0^2 f(0^3) - 0^2 f(0^3) \quad \Rightarrow \quad f(0) = 0.
\]

Kết quả này cho ta: \( f(0) = 0 \).

#### Trường hợp 2: Cho \( y = 0 \)
Thay \( y = 0 \) vào phương trình ban đầu:
\[
f(x^5 - 0^5) = x^2 f(x^3) - 0^2 f(0^3) \quad \Rightarrow \quad f(x^5) = x^2 f(x^3).
\]

Vậy ta có phương trình mới:
\[
f(x^5) = x^2 f(x^3), \quad \forall x \in \mathbb{R}. \tag{1}
\]

### Bước 2: Thử nghiệm các hàm đơn giản
Ta giả sử hàm \( f(x) = x^k \), với \( k \) là một hằng số. Thay vào phương trình (1), ta có:
\[
f(x^5) = (x^5)^k = x^{5k}, \quad x^2 f(x^3) = x^2 \cdot (x^3)^k = x^2 \cdot x^{3k} = x^{3k+2}.
\]
So sánh hai vế của phương trình:
\[
x^{5k} = x^{3k + 2}.
\]
Điều này dẫn đến:
\[
5k = 3k + 2 \quad \Rightarrow \quad 2k = 2 \quad \Rightarrow \quad k = 1.
\]

Vậy ta có một nghiệm khả dĩ là \( f(x) = x \).

### Bước 3: Kiểm tra lại nghiệm
Thay \( f(x) = x \) vào phương trình ban đầu:
\[
f(x^5 - y^5) = (x^5 - y^5), \quad x^2 f(x^3) - y^2 f(y^3) = x^2 \cdot x^3 - y^2 \cdot y^3 = x^5 - y^5.
\]
Hai vế bằng nhau, do đó \( f(x) = x \) là nghiệm đúng của phương trình.

### Kết luận:
Hàm duy nhất thỏa mãn phương trình đã cho là:

\[
f(x) = x, \quad \forall x \in \mathbb{R}.
\]

---

Bạn có muốn mình giải thích thêm chi tiết hoặc có câu hỏi nào khác không?

### 5 câu hỏi liên quan:
1. Có những phương pháp nào khác để giải phương trình hàm này?
2. Có bao nhiêu loại phương trình hàm thường gặp?
3. Làm thế nào để nhận biết được nghiệm duy nhất của phương trình hàm?
4. Phương trình hàm có ứng dụng như thế nào trong toán học?
5. Có thể giải phương trình này bằng cách nào khác mà không cần giả sử \( f(x) \) là một đa thức không?

### Mẹo: Khi giải phương trình hàm, việc thử nghiệm với các giá trị đặc biệt như \( x = 0 \), \( y = 0 \) thường giúp đơn giản hóa vấn đề.

Tìm tất cả các hàm số f :R→R thoả mãn điều kiện: f (x^5 − y^5) = x^2f(x^3) − y^2f(y^3)

Discover how to solve the functional equation f(x^5 - y^5) = x^2f(x^3) - y^2f(y^3) for functions mapping from R to R. This problem involves key mathematical concepts like functional equations, real analysis, and polynomials. Suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation