 Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn
 f (x−y)2 =(f(x))2 −2xf(y)+y2,∀x,y ∈ R.

Ta cần tìm tất cả các hàm số \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) thỏa mãn:

\[
f((x-y)^2) = (f(x))^2 - 2x f(y) + y^2, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.
\]

**Bước 1: Đặt giá trị đặc biệt cho \( y \):**

Giả sử \( y = 0 \), ta có:

\[
f(x^2) = (f(x))^2 - 2x f(0).
\]

**Bước 2: Xét các hàm số dạng tuyến tính:**

Đặt \( f(x) = ax + b \). Thay vào phương trình ban đầu:

\[
a(x-y)^2 + b = (ax + b)^2 - 2x(a y + b) + y^2.
\]

Mở rộng vế phải:

\[
a(x^2 - 2xy + y^2) + b = a^2x^2 + 2abx + b^2 - 2axy - 2bx + y^2.
\]

So sánh các hệ số của các biểu thức cùng bậc của \( x \) và \( y \):

- Hệ số của \( x^2 \) ở cả hai vế là \( a \) và \( a^2 \) nên ta có: \( a = a^2 \).
- Hệ số của \( y^2 \) là \( a \) ở vế trái và \( 1

Explore how to solve the functional equation f(x-y)^2 = (f(x))^2 - 2x f(y) + y^2 in real numbers. This problem involves functional equations and requires advanced mathematical analysis. Suitable for university-level students and mathematicians.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation