Chúng ta cần tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn phương trình hàm:

$f(x + y) = f(x) \cdot y \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$

Bước 1: Kiểm tra tính chất của hàm $f$

Đặt $y = 0$ vào phương trình:

$f(x + 0) = f(x) \cdot 0$

Điều này dẫn đến:

$f(x) \cdot 0 = 0 \Rightarrow f(x) = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$

Vậy hàm $f(x) = 0$ thỏa mãn phương trình hàm ban đầu.

Bước 2: Kiểm tra trường hợp khác

Giả sử $f$ không phải là hàm không (tức là tồn tại một giá trị $x_0$ sao cho $f(x_0) \neq 0$):

Từ phương trình ban đầu $f(x + y) = f(x) \cdot y$, đặt $x = 0$:

$f(y) = f(0) \cdot y$

Do đó, hàm $f(y)$ phải có dạng $f(y) = c \cdot y$, với $c = f(0)$.

Bước 3: Kiểm tra tính thỏa mãn của hàm $f(y) = c \cdot y$

Đặt $f(y) = c \cdot y$ vào phương trình ban đầu:

$f(x + y) = c \cdot (x + y)$ $f(x) \cdot y = (c \cdot x) \cdot y$

Hai vế bằng nhau:

$c \cdot (x + y) = c \cdot x \cdot y$

Phương trình này chỉ thỏa mãn với mọi $x, y$ khi $c = 0$. Do đó, $f(x) = 0$ là hàm duy nhất thỏa mãn phương trình ban đầu.

Kết luận:

Hàm $f(x) = 0$ là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện đã cho.

---

Bạn có muốn biết thêm chi tiết nào không? Dưới đây là một số câu hỏi liên quan:

1. Tại sao phương trình trên chỉ thỏa mãn với hàm không?
2. Có tồn tại dạng hàm nào khác mà có thể thỏa mãn điều kiện tương tự không?
3. Làm thế nào để giải quyết các phương trình hàm khác?
4. Ứng dụng của phương trình hàm trong toán học là gì?
5. Phương pháp kiểm tra tính duy nhất của nghiệm trong phương trình hàm?

Mẹo: Khi giải các phương trình hàm, hãy luôn kiểm tra các giá trị đặc biệt như $y = 0$, $x = 0$ để tìm hiểu tính chất của hàm.