Tentukan solusi persamaan diferensial berikut yang memenuhi nilai awal yang diberikan 𝑦′ + 3𝑥𝑦 =𝑥𝑒^−𝑥^2, dimana 𝑦(0) = −1

Kita diberikan persamaan diferensial:

\[
y' + 3xy = xe^{-x^2}
\]

dan nilai awal \( y(0) = -1 \). Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita akan menggunakan metode faktor pengintegral (integrating factor).

### Langkah 1: Bentuk Umum Persamaan Linear Orde Pertama
Persamaan diferensial yang kita hadapi berbentuk:

\[
y' + P(x)y = Q(x)
\]

Dimana \( P(x) = 3x \) dan \( Q(x) = xe^{-x^2} \).

### Langkah 2: Tentukan Faktor Pengintegral
Faktor pengintegral \( \mu(x) \) didefinisikan sebagai:

\[
\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3x dx} = e^{\frac{3x^2}{2}}
\]

### Langkah 3: Kalikan Kedua Sisi Persamaan dengan Faktor Pengintegral
Kalikan seluruh persamaan dengan \( \mu(x) = e^{\frac{3x^2}{2}} \):

\[
e^{\frac{3x^2}{2}} y' + e^{\frac{3x^2}{2}} 3xy = xe^{-x^2} e^{\frac{3x^2}{2}}
\]

### Langkah 4: Sederhanakan
Perhatikan bahwa bagian kiri persamaan sekarang merupakan turunan dari \( y \cdot e^{\frac{3x^2}{2}} \):

\[
\frac{d}{dx} \left( y \cdot e^{\frac{3x^2}{2}} \right) = xe^{-x^2 + \frac{3x^2}{2}} = xe^{\frac{x^2}{2}}
\]

### Langkah 5: Integrasikan Kedua Sisi
Integrasikan kedua sisi terhadap \( x \):

\[
y \cdot e^{\frac{3x^2}{2}} = \int xe^{\frac{x^2}{2}} dx
\]

Untuk menyelesaikan integral di sebelah kanan, kita gunakan substitusi. Misalkan \( u = \frac{x^2}{2} \), sehingga \( du = x dx \). Integral menjadi:

\[
\int xe^{\frac{x^2}{2}} dx = \int e^u du = e^u = e^{\frac{x^2}{2}}
\]

Jadi, kita dapatkan:

\[
y \cdot e^{\frac{3x^2}{2}} = e^{\frac{x^2}{2}} + C
\]

### Langkah 6: Selesaikan untuk \( y \)
Sekarang, kita bagi kedua sisi dengan \( e^{\frac{3x^2}{2}} \):

\[
y = e^{\frac{x^2}{2}} \cdot e^{-\frac{3x^2}{2}} + C e^{-\frac{3x^2}{2}} = e^{-x^2} + C e^{-\frac{3x^2}{2}}
\]

### Langkah 7: Gunakan Kondisi Nilai Awal
Gunakan kondisi awal \( y(0) = -1 \) untuk menentukan nilai \( C \):

\[
-1 = e^{0} + C e^{0}
\]

\[
-1 = 1 + C \implies C = -2
\]

### Langkah 8: Solusi Akhir
Dengan \( C = -2 \), solusi umum persamaan diferensial adalah:

\[
y = e^{-x^2} - 2e^{-\frac{3x^2}{2}}
\]

Itu adalah solusi dari persamaan diferensial yang memenuhi nilai awal yang diberikan.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? 

Berikut beberapa pertanyaan terkait:
1. Apa langkah-langkah dalam metode faktor pengintegral?
2. Bagaimana mengidentifikasi bentuk umum persamaan diferensial linier?
3. Mengapa kita menggunakan substitusi \( u = \frac{x^2}{2} \) dalam integral?
4. Bagaimana cara memverifikasi solusi persamaan diferensial?
5. Apakah ada metode lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier?

**Tip**: Saat menggunakan metode faktor pengintegral, pastikan untuk memeriksa bahwa hasil integral dari faktor pengintegral diterapkan ke seluruh persamaan dengan benar.

This page provides a detailed step-by-step solution to the differential equation y' + 3xy = x e^{-x^2}, including the application of integrating factors and using the initial condition y(0) = -1. The solution covers key concepts of first-order linear differential equations and is suitable for college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation