Math Problem Statement
Tentukan solusi persamaan diferensial berikut yang memenuhi nilai awal yang diberikan π¦β² + 3π₯π¦ =π₯π^βπ₯^2, dimana π¦(0) = β1
Solution
Kita diberikan persamaan diferensial:
dan nilai awal . Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita akan menggunakan metode faktor pengintegral (integrating factor).
Langkah 1: Bentuk Umum Persamaan Linear Orde Pertama
Persamaan diferensial yang kita hadapi berbentuk:
Dimana dan .
Langkah 2: Tentukan Faktor Pengintegral
Faktor pengintegral didefinisikan sebagai:
Langkah 3: Kalikan Kedua Sisi Persamaan dengan Faktor Pengintegral
Kalikan seluruh persamaan dengan :
Langkah 4: Sederhanakan
Perhatikan bahwa bagian kiri persamaan sekarang merupakan turunan dari :
Langkah 5: Integrasikan Kedua Sisi
Integrasikan kedua sisi terhadap :
Untuk menyelesaikan integral di sebelah kanan, kita gunakan substitusi. Misalkan , sehingga . Integral menjadi:
Jadi, kita dapatkan:
Langkah 6: Selesaikan untuk
Sekarang, kita bagi kedua sisi dengan :
Langkah 7: Gunakan Kondisi Nilai Awal
Gunakan kondisi awal untuk menentukan nilai :
Langkah 8: Solusi Akhir
Dengan , solusi umum persamaan diferensial adalah:
Itu adalah solusi dari persamaan diferensial yang memenuhi nilai awal yang diberikan.
Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?
Berikut beberapa pertanyaan terkait:
- Apa langkah-langkah dalam metode faktor pengintegral?
- Bagaimana mengidentifikasi bentuk umum persamaan diferensial linier?
- Mengapa kita menggunakan substitusi dalam integral?
- Bagaimana cara memverifikasi solusi persamaan diferensial?
- Apakah ada metode lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier?
Tip: Saat menggunakan metode faktor pengintegral, pastikan untuk memeriksa bahwa hasil integral dari faktor pengintegral diterapkan ke seluruh persamaan dengan benar.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Differential Equations
First-Order Linear Equations
Integrating Factors
Formulas
y' + P(x)y = Q(x)
Integrating factor: ΞΌ(x) = e^{β«P(x)dx}
General solution: y = e^{-x^2} + C e^{-rac{3x^2}{2}}
Theorems
First-order linear differential equation
Method of integrating factors
Suitable Grade Level
College level (Calculus II or Differential Equations course)
Related Recommendation
Solving First-Order Linear Differential Equation xy' + y = x^2 e^{-x^2}
Solving First-Order Linear Differential Equation y' + 2xy = x^2 with Initial Condition y(0) = 3
Solving First-Order Linear Differential Equation y' = xy + 3y β 2x β 6
Solve the Differential Equation y' = 3e^x - 3y Using Integrating Factor
Solve the Differential Equation x(dy/dx) + e^y(dy/dx) + y = 0