Math Problem Statement

Tentukan solusi persamaan diferensial berikut yang memenuhi nilai awal yang diberikan 𝑦′ + 3π‘₯𝑦 =π‘₯𝑒^βˆ’π‘₯^2, dimana 𝑦(0) = βˆ’1

Solution

Kita diberikan persamaan diferensial:

yβ€²+3xy=xeβˆ’x2y' + 3xy = xe^{-x^2}

dan nilai awal y(0)=βˆ’1y(0) = -1. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita akan menggunakan metode faktor pengintegral (integrating factor).

Langkah 1: Bentuk Umum Persamaan Linear Orde Pertama

Persamaan diferensial yang kita hadapi berbentuk:

yβ€²+P(x)y=Q(x)y' + P(x)y = Q(x)

Dimana P(x)=3xP(x) = 3x dan Q(x)=xeβˆ’x2Q(x) = xe^{-x^2}.

Langkah 2: Tentukan Faktor Pengintegral

Faktor pengintegral ΞΌ(x)\mu(x) didefinisikan sebagai:

μ(x)=e∫P(x)dx=e∫3xdx=e3x22\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3x dx} = e^{\frac{3x^2}{2}}

Langkah 3: Kalikan Kedua Sisi Persamaan dengan Faktor Pengintegral

Kalikan seluruh persamaan dengan ΞΌ(x)=e3x22\mu(x) = e^{\frac{3x^2}{2}}:

e3x22yβ€²+e3x223xy=xeβˆ’x2e3x22e^{\frac{3x^2}{2}} y' + e^{\frac{3x^2}{2}} 3xy = xe^{-x^2} e^{\frac{3x^2}{2}}

Langkah 4: Sederhanakan

Perhatikan bahwa bagian kiri persamaan sekarang merupakan turunan dari yβ‹…e3x22y \cdot e^{\frac{3x^2}{2}}:

ddx(yβ‹…e3x22)=xeβˆ’x2+3x22=xex22\frac{d}{dx} \left( y \cdot e^{\frac{3x^2}{2}} \right) = xe^{-x^2 + \frac{3x^2}{2}} = xe^{\frac{x^2}{2}}

Langkah 5: Integrasikan Kedua Sisi

Integrasikan kedua sisi terhadap xx:

yβ‹…e3x22=∫xex22dxy \cdot e^{\frac{3x^2}{2}} = \int xe^{\frac{x^2}{2}} dx

Untuk menyelesaikan integral di sebelah kanan, kita gunakan substitusi. Misalkan u=x22u = \frac{x^2}{2}, sehingga du=xdxdu = x dx. Integral menjadi:

∫xex22dx=∫eudu=eu=ex22\int xe^{\frac{x^2}{2}} dx = \int e^u du = e^u = e^{\frac{x^2}{2}}

Jadi, kita dapatkan:

yβ‹…e3x22=ex22+Cy \cdot e^{\frac{3x^2}{2}} = e^{\frac{x^2}{2}} + C

Langkah 6: Selesaikan untuk yy

Sekarang, kita bagi kedua sisi dengan e3x22e^{\frac{3x^2}{2}}:

y=ex22β‹…eβˆ’3x22+Ceβˆ’3x22=eβˆ’x2+Ceβˆ’3x22y = e^{\frac{x^2}{2}} \cdot e^{-\frac{3x^2}{2}} + C e^{-\frac{3x^2}{2}} = e^{-x^2} + C e^{-\frac{3x^2}{2}}

Langkah 7: Gunakan Kondisi Nilai Awal

Gunakan kondisi awal y(0)=βˆ’1y(0) = -1 untuk menentukan nilai CC:

βˆ’1=e0+Ce0-1 = e^{0} + C e^{0}

βˆ’1=1+Cβ€…β€ŠβŸΉβ€…β€ŠC=βˆ’2-1 = 1 + C \implies C = -2

Langkah 8: Solusi Akhir

Dengan C=βˆ’2C = -2, solusi umum persamaan diferensial adalah:

y=eβˆ’x2βˆ’2eβˆ’3x22y = e^{-x^2} - 2e^{-\frac{3x^2}{2}}

Itu adalah solusi dari persamaan diferensial yang memenuhi nilai awal yang diberikan.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

Berikut beberapa pertanyaan terkait:

  1. Apa langkah-langkah dalam metode faktor pengintegral?
  2. Bagaimana mengidentifikasi bentuk umum persamaan diferensial linier?
  3. Mengapa kita menggunakan substitusi u=x22u = \frac{x^2}{2} dalam integral?
  4. Bagaimana cara memverifikasi solusi persamaan diferensial?
  5. Apakah ada metode lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier?

Tip: Saat menggunakan metode faktor pengintegral, pastikan untuk memeriksa bahwa hasil integral dari faktor pengintegral diterapkan ke seluruh persamaan dengan benar.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Differential Equations
First-Order Linear Equations
Integrating Factors

Formulas

y' + P(x)y = Q(x)
Integrating factor: μ(x) = e^{∫P(x)dx}
General solution: y = e^{-x^2} + C e^{- rac{3x^2}{2}}

Theorems

First-order linear differential equation
Method of integrating factors

Suitable Grade Level

College level (Calculus II or Differential Equations course)