determina el conjunto solucion de: e^3x+2 + 3e^6x+2 = 4e^2

La ecuación dada es:

\[
e^{3x+2} + 3e^{6x+2} = 4e^2
\]

**Paso 1: Simplificar la ecuación**

Primero, observemos que podemos factorizar \( e^2 \) de cada término en la ecuación. Recordemos que:

\[
e^{a+b} = e^a \cdot e^b
\]

Por lo tanto, podemos reescribir los términos de la ecuación original de la siguiente manera:

\[
e^{3x+2} = e^2 \cdot e^{3x}
\]
\[
e^{6x+2} = e^2 \cdot e^{6x}
\]

Sustituyendo en la ecuación original, obtenemos:

\[
e^2 \cdot e^{3x} + 3e^2 \cdot e^{6x} = 4e^2
\]

**Paso 2: Dividir por \( e^2 \)**

Podemos simplificar dividiendo ambos lados de la ecuación por \( e^2 \), siempre que \( e^2 \neq 0 \), lo cual es cierto. Esto nos deja con:

\[
e^{3x} + 3e^{6x} = 4
\]

**Paso 3: Sustitución**

Para simplificar aún más la ecuación, podemos hacer la sustitución \( y = e^{3x} \). Esto transforma la ecuación en:

\[
y + 3y^2 = 4
\]

**Paso 4: Reorganizar la ecuación cuadrática**

Reorganizamos la ecuación para formar una ecuación cuadrática estándar:

\[
3y^2 + y - 4 = 

determina el conjunto solución de: e^3x+2 + 3e^6x+2 = 4e^2

Discover how to solve the exponential equation e^3x+2 + 3e^6x+2 = 4e^2 by simplifying using the properties of exponents and substitution. Follow the detailed steps to factor out e^2, divide the equation, and transform it into a quadratic form. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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