La ecuación dada es:

$e^{3x+2} + 3e^{6x+2} = 4e^2$

Paso 1: Simplificar la ecuación

Primero, observemos que podemos factorizar $e^2$ de cada término en la ecuación. Recordemos que:

$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$

Por lo tanto, podemos reescribir los términos de la ecuación original de la siguiente manera:

$e^{3x+2} = e^2 \cdot e^{3x}$ $e^{6x+2} = e^2 \cdot e^{6x}$

Sustituyendo en la ecuación original, obtenemos:

$e^2 \cdot e^{3x} + 3e^2 \cdot e^{6x} = 4e^2$

Paso 2: Dividir por $e^2$

Podemos simplificar dividiendo ambos lados de la ecuación por $e^2$, siempre que $e^2 \neq 0$, lo cual es cierto. Esto nos deja con:

$e^{3x} + 3e^{6x} = 4$

Paso 3: Sustitución

Para simplificar aún más la ecuación, podemos hacer la sustitución $y = e^{3x}$. Esto transforma la ecuación en:

$y + 3y^2 = 4$

Paso 4: Reorganizar la ecuación cuadrática

Reorganizamos la ecuación para formar una ecuación cuadrática estándar:

[ 3y^2 + y - 4 =