La ecuación dada es:

$e^{3x+2} + 3e^{6x+2} = 4e^2$

Vamos a resolverla paso a paso.

1. Simplificación inicial:

Podemos reescribir los exponentes para hacer la ecuación más manejable. Recordemos que $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$, entonces:

$e^{3x+2} = e^{3x} \cdot e^2$ $e^{6x+2} = e^{6x} \cdot e^2$

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación original:

$e^{3x} \cdot e^2 + 3e^{6x} \cdot e^2 = 4e^2$

2. Factorización:

Factorizamos $e^2$ en ambos lados de la ecuación:

$e^2 \left( e^{3x} + 3e^{6x} \right) = 4e^2$

Podemos simplificar dividiendo ambos lados entre $e^2$ (suponiendo que $e^2 \neq 0$):

$e^{3x} + 3e^{6x} = 4$

3. Sustitución:

Realizamos una sustitución para simplificar el manejo de los términos exponenciales. Sea $y = e^{3x}$. Entonces, $e^{6x} = (e^{3x})^2 = y^2$. La ecuación se convierte en:

$y + 3y^2 = 4$

4. Reordenación de la ecuación cuadrática:

Reordenamos la ecuación para tener la forma estándar de una ecuación cuadrática:

$3y^2 + y - 4 = 0$

5. Resolución de la ecuación cuadrática:

Utilizamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a = 3$, $b = 1$ y $c = -4$:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Sustituyendo los valores:

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)}$ $y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6}$ $y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{6}$ $y = \frac{-1 \pm 7}{6}$

Esto da dos soluciones:

$y_1 = \frac{-1 + 7}{6} = 1$ $y_2 = \frac{-1 - 7}{6} = -\frac{4}{3}$

6. Deshacer la sustitución:

Recordemos que $y = e^{3x}$, por lo que ahora resolvemos para $x$:

• Para $y_1 = 1$, tenemos $e^{3x} = 1$, lo que implica que $3x = 0$ y, por lo tanto, $x = 0$.
• Para $y_2 = -\frac{4}{3}$, no hay solución real porque la función exponencial $e^{3x}$ nunca es negativa.

7. Conjunto solución:

La única solución real es $x = 0$.

$\boxed{x = 0}$

¿Te gustaría que amplíe más detalles sobre algún paso o tienes preguntas adicionales?

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Tip: Siempre verifica si puedes simplificar una ecuación exponencial utilizando propiedades de los exponentes.