determina el conjunto solucion de: e^3x+2 + 3e^6x+2 = 4e^2

La ecuación dada es:

\[
e^{3x+2} + 3e^{6x+2} = 4e^2
\]

Vamos a resolverla paso a paso.

### 1. Simplificación inicial:
Podemos reescribir los exponentes para hacer la ecuación más manejable. Recordemos que \( e^{a+b} = e^a \cdot e^b \), entonces:

\[
e^{3x+2} = e^{3x} \cdot e^2
\]
\[
e^{6x+2} = e^{6x} \cdot e^2
\]

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación original:

\[
e^{3x} \cdot e^2 + 3e^{6x} \cdot e^2 = 4e^2
\]

### 2. Factorización:
Factorizamos \( e^2 \) en ambos lados de la ecuación:

\[
e^2 \left( e^{3x} + 3e^{6x} \right) = 4e^2
\]

Podemos simplificar dividiendo ambos lados entre \( e^2 \) (suponiendo que \( e^2 \neq 0 \)):

\[
e^{3x} + 3e^{6x} = 4
\]

### 3. Sustitución:
Realizamos una sustitución para simplificar el manejo de los términos exponenciales. Sea \( y = e^{3x} \). Entonces, \( e^{6x} = (e^{3x})^2 = y^2 \). La ecuación se convierte en:

\[
y + 3y^2 = 4
\]

### 4. Reordenación de la ecuación cuadrática:
Reordenamos la ecuación para tener la forma estándar de una ecuación cuadrática:

\[
3y^2 + y - 4 = 0
\]

### 5. Resolución de la ecuación cuadrática:
Utilizamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática \( ax^2 + bx + c = 0 \), donde \( a = 3 \), \( b = 1 \) y \( c = -4 \):

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)}
\]
\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6}
\]
\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{6}
\]
\[
y = \frac{-1 \pm 7}{6}
\]

Esto da dos soluciones:

\[
y_1 = \frac{-1 + 7}{6} = 1
\]
\[
y_2 = \frac{-1 - 7}{6} = -\frac{4}{3}
\]

### 6. Deshacer la sustitución:
Recordemos que \( y = e^{3x} \), por lo que ahora resolvemos para \( x \):

- Para \( y_1 = 1 \), tenemos \( e^{3x} = 1 \), lo que implica que \( 3x = 0 \) y, por lo tanto, \( x = 0 \).
- Para \( y_2 = -\frac{4}{3} \), no hay solución real porque la función exponencial \( e^{3x} \) nunca es negativa.

### 7. Conjunto solución:
La única solución real es \( x = 0 \).

\[
\boxed{x = 0}
\]

¿Te gustaría que amplíe más detalles sobre algún paso o tienes preguntas adicionales?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelven otras ecuaciones exponenciales?
2. ¿Qué ocurre si hay más términos en la ecuación exponencial?
3. ¿Cómo puedo aplicar la fórmula general de una cuadrática a otros problemas?
4. ¿Por qué la función exponencial nunca es negativa?
5. ¿Cómo resolver ecuaciones que involucran logaritmos?

**Tip:** Siempre verifica si puedes simplificar una ecuación exponencial utilizando propiedades de los exponentes.

Learn how to solve the exponential equation e^3x+2 + 3e^6x+2 = 4e^2 step by step. This problem covers key concepts in solving exponential equations, substitution, and applying the quadratic formula. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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