https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1723497366706wiy28hvw.pdf

Parece que el documento contiene varios ejercicios relacionados con el tema de las elipses. A continuación, resolveré algunos de los problemas indicados:

### Problema 6
Se da la ecuación de una elipse:

\[
\frac{(x - 6)^2}{9} + \frac{(y - 2)^2}{4} = 1
\]

Debemos determinar uno de los vértices de la elipse.

**Solución**:
- La ecuación de la elipse está en su forma canónica: 

\[
\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1
\]

donde \((h, k)\) son las coordenadas del centro de la elipse, y \(a\) y \(b\) son los semiejes mayor y menor, respectivamente.

- Aquí, \(h = 6\), \(k = 2\), \(a^2 = 9\), por lo tanto \(a = 3\), y \(b^2 = 4\), por lo tanto \(b = 2\).

- Como \(a > b\), el eje mayor es horizontal, lo que significa que los vértices están a una distancia de \(a = 3\) unidades del centro en la dirección horizontal.

- Los vértices se encuentran en:

\[
(6 + 3, 2) = (9, 2) \quad \text{y} \quad (6 - 3, 2) = (3, 2)
\]

**Respuesta**: Uno de los vértices de la elipse es \((9, 2)\) o \((3, 2)\).

---

### Problema 8
Se da la ecuación de la elipse:

\[
25x^2 + 4y^2 - 50x - 8y - 59 = 0
\]

Se requiere determinar la longitud del lado recto de la elipse y obtener su ecuación ordinaria.

**Solución**:
- Primero, completamos cuadrados para convertir la ecuación general a la forma canónica:

\[
25(x^2 - 2x) + 4(y^2 - 2y) = 59
\]

- Completamos cuadrados para cada variable:

\[
25[(x^2 - 2x + 1) - 1] + 4[(y^2 - 2y + 1) - 1] = 59
\]

\[
25[(x - 1)^2 - 1] + 4[(y - 1)^2 - 1] = 59
\]

\[
25(x - 1)^2 - 25 + 4(y - 1)^2 - 4 = 59
\]

\[
25(x - 1)^2 + 4(y - 1)^2 = 88
\]

- Dividimos por 88 para obtener la forma estándar:

\[
\frac{(x - 1)^2}{\frac{88}{25}} + \frac{(y - 1)^2}{\frac{88}{4}} = 1
\]

\[
\frac{(x - 1)^2}{\frac{88}{25}} + \frac{(y - 1)^2}{22} = 1
\]

- Aquí, el semieje mayor es:

\[
a = \sqrt{\frac{88}{4}} = \sqrt{22}
\]

y el semieje menor es:

\[
b = \sqrt{\frac{88}{25}} = \frac{\sqrt{88}}{5}
\]

- La longitud del lado recto (longitud del lado focal) para la elipse es:

\[
\text{Longitud del lado recto} = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times \frac{88}{25}}{\sqrt{22}} = \frac{176}{25\sqrt{22}}
\]

**Respuesta**: La longitud del lado recto de la elipse es \(\frac{176}{25\sqrt{22}}\).

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¿Tienes alguna pregunta o te gustaría resolver más ejercicios? 

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué papel juegan los focos en la definición de una elipse?
2. ¿Cómo se determina la excentricidad de una elipse?
3. ¿Qué información nos da la longitud del lado recto de una elipse?
4. ¿Cómo se grafica una elipse dada su ecuación canónica?
5. ¿Qué diferencia hay entre una elipse y una circunferencia?
6. ¿Cómo se pueden deducir los focos de una elipse a partir de su ecuación?
7. ¿Cuál es la relación entre los ejes mayor y menor en una elipse?
8. ¿Qué sucede con la forma de la elipse cuando sus ejes mayor y menor son iguales?

### Tip:
Al completar cuadrados, siempre agrupa y simplifica términos antes de completar para reducir errores.

Explore detailed solutions to exercises involving ellipse equations, including finding vertices and determining ellipse properties. Learn about completing the square and its application in coordinate geometry. Suitable for advanced high school students.

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