https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1723268712336ee622miz.docx

Aquí tienes la solución de los ejercicios solicitados:

### 1. **Calcula la ecuación general de cada ecuación.**

Las ecuaciones dadas son de la forma de una **elipse**, representadas por:

\[
\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
\]

Donde:
- \((h, k)\) es el centro de la elipse.
- \(a\) y \(b\) son las longitudes de los semiejes mayores y menores, respectivamente.

#### a) \(\frac{x^2}{4} + \frac{(y+3)^2}{16} = 1\)

Para llevar esta ecuación a la forma general:

1. Multiplicamos toda la ecuación por 16 (el mínimo común múltiplo de 4 y 16):
   \[
   16\left(\frac{x^2}{4} + \frac{(y+3)^2}{16}\right) = 16 \times 1
   \]
   \[
   4x^2 + (y + 3)^2 = 16
   \]
   
2. Expandimos los términos:
   \[
   4x^2 + y^2 + 6y + 9 = 16
   \]
   
3. Restamos 16 a ambos lados para igualar a cero:
   \[
   4x^2 + y^2 + 6y - 7 = 0
   \]

**Ecuación general**: \(4x^2 + y^2 + 6y - 7 = 0\)

#### b) \(\frac{(x+10)^2}{9} + \frac{(y-5)^2}{1} = 1\)

1. Multiplicamos toda la ecuación por 9 (el mínimo común múltiplo de 9 y 1):
   \[
   9\left(\frac{(x+10)^2}{9} + \frac{(y-5)^2}{1}\right) = 9 \times 1
   \]
   \[
   (x+10)^2 + 9(y-5)^2 = 9
   \]
   
2. Expandimos los términos:
   \[
   x^2 + 20x + 100 + 9y^2 - 90y + 225 = 9
   \]
   
3. Restamos 9 a ambos lados para igualar a cero:
   \[
   x^2 + 20x + 9y^2 - 90y + 316 = 0
   \]

**Ecuación general**: \(x^2 + 20x + 9y^2 - 90y + 316 = 0\)

#### c) \(\frac{(x+1)^2}{3} + \frac{(y-1)^2}{6} = 1\)

1. Multiplicamos toda la ecuación por 6 (el mínimo común múltiplo de 3 y 6):
   \[
   6\left(\frac{(x+1)^2}{3} + \frac{(y-1)^2}{6}\right) = 6 \times 1
   \]
   \[
   2(x+1)^2 + (y-1)^2 = 6
   \]
   
2. Expandimos los términos:
   \[
   2x^2 + 4x + 2 + y^2 - 2y + 1 = 6
   \]
   
3. Restamos 6 a ambos lados para igualar a cero:
   \[
   2x^2 + 4x + y^2 - 2y - 3 = 0
   \]

**Ecuación general**: \(2x^2 + 4x + y^2 - 2y - 3 = 0\)

#### d) \(\frac{(x-3)^2}{2} + \frac{(y-1)^2}{3} = 1\)

1. Multiplicamos toda la ecuación por 6 (el mínimo común múltiplo de 2 y 3):
   \[
   6\left(\frac{(x-3)^2}{2} + \frac{(y-1)^2}{3}\right) = 6 \times 1
   \]
   \[
   3(x-3)^2 + 2(y-1)^2 = 6
   \]
   
2. Expandimos los términos:
   \[
   3x^2 - 18x + 27 + 2y^2 - 4y + 2 = 6
   \]
   
3. Restamos 6 a ambos lados para igualar a cero:
   \[
   3x^2 - 18x + 2y^2 - 4y + 23 = 0
   \]

**Ecuación general**: \(3x^2 - 18x + 2y^2 - 4y + 23 = 0\)

#### e) \(\frac{(x+4)^2}{12} + \frac{(y+4)^2}{16} = 1\)

1. Multiplicamos toda la ecuación por 48 (el mínimo común múltiplo de 12 y 16):
   \[
   48\left(\frac{(x+4)^2}{12} + \frac{(y+4)^2}{16}\right) = 48 \times 1
   \]
   \[
   4(x+4)^2 + 3(y+4)^2 = 48
   \]
   
2. Expandimos los términos:
   \[
   4x^2 + 32x + 64 + 3y^2 + 24y + 48 = 48
   \]
   
3. Restamos 48 a ambos lados para igualar a cero:
   \[
   4x^2 + 32x + 3y^2 + 24y + 64 = 0
   \]

**Ecuación general**: \(4x^2 + 32x + 3y^2 + 24y + 64 = 0\)

---

¿Necesitas alguna aclaración o más detalles sobre los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo identificar si una ecuación representa una elipse, una hipérbola o una parábola?
2. ¿Cómo determinar los focos de una elipse a partir de la ecuación estándar?
3. ¿Qué significan \(a\) y \(b\) en la ecuación de una elipse?
4. ¿Cuál es la diferencia entre el eje mayor y el eje menor en una elipse?
5. ¿Cómo se determina la excentricidad de una elipse?
6. ¿Cuál es el significado geométrico del centro \((h, k)\) en la ecuación de la elipse?
7. ¿Cómo graficar una elipse dada su ecuación general?
8. ¿Qué ocurre si \(a = b\) en la ecuación de una elipse?

**Tip:** Siempre es útil simplificar y reescribir las ecuaciones cuadráticas en formas conocidas para identificarlas fácilmente.

Explore how to solve ellipse equations step-by-step with detailed solutions. This page covers converting ellipse equations to general form, understanding the center, axes, and eccentricity of ellipses. Suitable for high school students learning conic sections and quadratic equations.

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