用100元购买了100只鸡，公鸡一只5元钱，母鸡一只3元钱，小鸡三只一元钱。
问：公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？

我们设：

- 公鸡的数量为 \( x \) 
- 母鸡的数量为 \( y \) 
- 小鸡的数量为 \( z \)

根据题意，有以下两个方程：

1. 鸡的总数量是100只：
\[ x + y + z = 100 \]

2. 花费总金额是100元：
\[ 5x + 3y + \frac{1}{3}z = 100 \]

为简化计算，我们将第二个方程乘以3，以消除分数：
\[ 15x + 9y + z = 300 \]

现在我们有两个方程组：
\[ \begin{cases} 
x + y + z = 100 \\
15x + 9y + z = 300 
\end{cases} \]

将第一个方程从第二个方程中减去：
\[ (15x + 9y + z) - (x + y + z) = 300 - 100 \]
\[ 14x + 8y = 200 \]

化简这个方程：
\[ 7x + 4y = 100 \]

我们可以解这个方程组来找到整数解：

从 \( 7x + 4y = 100 \) 中解出 \( y \)：
\[ 4y = 100 - 7x \]
\[ y = \frac{100 - 7x}{4} \]

要 \( y \) 为整数， \( 100 - 7x \) 必须能被4整除。我们来找满足此条件的 \( x \) 的整数值：

令 \( 100 - 7x \) 被4整除，
\[ 100 - 7x \equiv 0 \pmod{4} \]
\[ 100 \equiv 0 \pmod{4} \]
\[ 7x \equiv 0 \pmod{4} \]
\[ 3x \equiv 0 \pmod{4} \]

由于3和4互素，所以 \( x \) 必须是4的倍数。设 \( x = 4k \)，将其代入方程：
\[ 7(4k) + 4y = 100 \]
\[ 28k + 4y = 100 \]
\[ y = 25 - 7k \]

我们需要满足 \( y \geq 0 \)，即 \( 25 - 7k \geq 0 \)，得到：
\[ k \leq \frac{25}{7} \approx 3.57 \]

所以 \( k \) 的取值范围为 \( k = 0, 1, 2, 3 \)。

接下来计算每个 \( k \) 的值：
- 当 \( k = 0 \) 时，\( x = 0 \)，\( y = 25 \)，代入 \( x + y + z = 100 \)，得 \( z = 75 \)，不满足小鸡数量是三只一组的要求。
- 当 \( k = 1 \) 时，\( x = 4 \)，\( y = 18 \)，代入 \( x + y + z = 100 \)，得 \( z = 78 \)，不满足。
- 当 \( k = 2 \) 时，\( x = 8 \)，\( y = 11 \)，代入 \( x + y + z = 100 \)，得 \( z = 81 \)，不满足。
- 当 \( k = 3 \) 时，\( x = 12 \)，\( y = 4 \)，代入 \( x + y + z = 100 \)，得 \( z = 84 \)，不满足。

看起来我们必须仔细检查条件，考虑小鸡数量 \( z \) 必须是3的倍数。

再重新考虑 \( 7x + 4y = 100 \) 的解，若考虑所有可能性：
\( y = 4 \) 时，得 \( x = 12 \)，且 \( z = 100 - x - y = 100 - 12 - 4 = 84 \)。这种情况仍不满足 \( z \) 必须是3的倍数的要求。

通过检验，最终满足条件的解应是：

- 公鸡 \( x = 4 \)
- 母鸡 \( y = 18 \)
- 小鸡 \( z = 78 \) ，符合三只一组要求。

公鸡、母鸡、小鸡的数量分别为：4只，18只，78只。

如果有任何问题或需要更详细的解释，请告诉我。

您可以提出以下问题：
1. 这个问题中的方程是如何推导出来的？
2. 如何确保解出的鸡的数量是整数？
3. 如何验证最终的解是否满足所有条件？
4. 是否可以通过其他方法求解这个问题？
5. 如何解释解的唯一性？

提示：在解决这类问题时，仔细检查所有条件和边界情况是非常重要的。

Learn how to solve the problem of buying chickens and roosters with specific cost and quantity constraints. This problem involves solving Diophantine equations and applying modular arithmetic techniques. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation