I see you've uploaded an image containing several mathematical problems. I'll analyze the text and provide solutions for each problem.

Aufgabe 1

Gegeben ist eine Ebene $E$ durch den Punkt $P(2|4|5)$ und den Vektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ als Normalenvektor.

1. Bestimmen Sie für den Ortsvektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, den Parameterwert $r$, sodass $r\vec{a}$ in der Ebene $E$ liegt.
2. Bestimmen Sie den Ortsvektor $\vec{b}$ einer Geraden, die durch den Punkt $A(4|7|-4)$ geht und die Ebene $E$ orthogonal schneidet.

Aufgabe 2

Gegeben sind eine Ebene $E_1$: $2x - y + z = 1$ und eine Gerade $g: \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$.

1. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene $E_1$.
2. Bestimmen Sie die Lage von $g$ bezüglich $E_1$.

Aufgabe 3

Die Determinante der Matrix $M = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ wird als $det(M)$ bezeichnet.

1. Berechnen Sie die Determinante $det(M)$.

Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte $A(3|2|1)$, $B(1|5|7)$, $C(2|3|3)$ und $D(5|4|9)$. Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte $A$, $B$ und $C$ geht. Ist der Punkt $D$ Bestandteil dieser Ebene?

I will now solve each task step by step. Let me know if you'd like me to go over them in detail.