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I see you've uploaded an image containing several mathematical problems. I'll analyze the text and provide solutions for each problem.

### Aufgabe 1
Gegeben ist eine Ebene \(E\) durch den Punkt \(P(2|4|5)\) und den Vektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) als Normalenvektor.

1. **Bestimmen Sie für den Ortsvektor** \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\), **den Parameterwert** \(r\), **sodass** \(r\vec{a}\) **in der Ebene** \(E\) **liegt**.
2. **Bestimmen Sie den Ortsvektor** \(\vec{b}\) **einer Geraden, die durch den Punkt** \(A(4|7|-4)\) **geht und die Ebene** \(E\) **orthogonal schneidet**.

### Aufgabe 2
Gegeben sind eine Ebene \(E_1\): \(2x - y + z = 1\) und eine Gerade \(g: \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\).

1. **Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene** \(E_1\).
2. **Bestimmen Sie die Lage von** \(g\) **bezüglich** \(E_1\).

### Aufgabe 3
Die Determinante der Matrix \(M = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\) **wird als** \(det(M)\) **bezeichnet**.

1. **Berechnen Sie die Determinante** \(det(M)\).

### Aufgabe 4
Gegeben sind die Punkte \(A(3|2|1)\), \(B(1|5|7)\), \(C(2|3|3)\) und \(D(5|4|9)\). Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) geht. Ist der Punkt \(D\) Bestandteil dieser Ebene?

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I will now solve each task step by step. Let me know if you'd like me to go over them in detail.

Solve the following problems based on the provided mathematical exercises.

Explore detailed solutions to problems involving plane geometry, vectors, and determinants. The exercises include calculating the intersection of lines and planes, determining the perpendicularity of vectors, and computing determinants of matrices. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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