Для определения взаимного расположения плоскостей $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ и прямой $l$, мы будем использовать основные геометрические и векторные методы.

1. Определение уравнений плоскостей:

• Уравнение плоскости записывается в общем виде: $n_x (x - x_0) + n_y (y - y_0) + n_z (z - z_0) = 0,$ где $\vec{n} = (n_x, n_y, n_z)$ — направляющий вектор плоскости, а $M_0(x_0, y_0, z_0)$ — точка на плоскости.

Для $\omega_1$:

Направляющий вектор $\vec{n_1} = (-2, 4, -1)$, точка $M_0(0, 3, -5)$: $-2x + 4(y - 3) - 1(z + 5) = 0 \implies -2x + 4y - 1z - 27 = 0.$

Для $\omega_2$:

Направляющий вектор $\vec{n_2} = (4, -8, 2)$, точка $N_0(1, 0, 4)$: $4(x - 1) - 8y + 2(z - 4) = 0 \implies 4x - 8y + 2z - 20 = 0.$

Для $\omega_3$:

Направляющий вектор $\vec{n_3} = (2, -3, 1)$, точка $K_0(4, -2, 0)$: $2(x - 4) - 3(y + 2) + 1z = 0 \implies 2x - 3y + z - 14 = 0.$

Уравнение прямой $l$:

Прямая задаётся направляющим вектором $\vec{p} = (2, -3, 1)$ и точкой $K_0(4, -2, 0)$. Параметрическое уравнение прямой: $x = 4 + 2t, \quad y = -2 - 3t, \quad z = t.$

---

2. Взаимное расположение плоскостей:

$\omega_1$ и $\omega_2$:

1. Проверим параллельность: $\vec{n_1} \parallel \vec{n_2} \iff \vec{n_1} \times \vec{n_2} = 0.$ Рассчитаем:

\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 4 & -1 \\ 4 & -8 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i} (4 \cdot 2 - (-1) \cdot (-8)) - \vec{j}((-2) \cdot 2 - (-1) \cdot 4) + \vec{k}((-2) \cdot (-8) - 4 \cdot 4).$$ $$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \vec{i}(8 - 8) - \vec{j}(-4 - 4) + \vec{k}(16 - 16) = \vec{i} \cdot 0 - \vec{j} \cdot (-8) + \vec{k} \cdot 0 = (0, 8, 0).$$ Так как $$\vec{n_1} \times \vec{n_2} \neq 0$$, плоскости **не параллельны**. 2. Найдём угол между плоскостями: $$\cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}.$$ $$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-2)(4) + (4)(-8) + (-1)(2) = -8 - 32 - 2 = -42.$$ $$|\vec{n_1}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}.$$ $$|\vec{n_2}| = \sqrt{(4)^2 + (-8)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 64 + 4} = \sqrt{84}.$$ $$\cos \theta = \frac{-42}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{84}} = \frac{-42}{\sqrt{1764}} = \frac{-42}{42} = -1.$$ Угол $$\theta = 180^\circ$$, плоскости совпадают. --- Хотите, чтобы я продолжил детальное описание пересечений и вычисления расстояний?