Hallar\:la\:función\:cuadrática\:f:\:R\:→\:R\:tal\:que\:verifique\:simultáneamente\:f\:\left(-1\right)\:=\:0,\:ysu\:gráfico\:pasa\:por\:el\:punto\:\left(-2,\:0\right)\:e\:Im\:\left(f\right)\:=\:[-2,\:+∞).

La función cuadrática \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) que verifica las condiciones dadas debe tener la forma general:

\[
f(x) = ax^2 + bx + c
\]

### Condiciones:
1. \( f(-1) = 0 \) → El valor de la función en \( x = -1 \) es cero.
2. El gráfico pasa por el punto \( (-2, 0) \) → El valor de la función en \( x = -2 \) también es cero.
3. \( \text{Im}(f) = [-2, +\infty) \) → La imagen de la función es el intervalo \( [-2, +\infty) \), lo que implica que el vértice de la parábola está en \( y = -2 \) y es un mínimo.

#### Paso 1: Condiciones para \( f(-1) = 0 \) y \( f(-2) = 0 \)
Partimos de la forma general \( f(x) = ax^2 + bx + c \), aplicando las dos primeras condiciones:

\[
f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \implies a - b + c = 0
\]
\[
f(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 0 \implies 4a - 2b + c = 0
\]

Estas son dos ecuaciones:

1. \( a - b + c = 0 \)
2. \( 4a - 2b + c = 0 \)

#### Paso 2: Condición para \( \text{Im}(f) = [-2, +\infty) \)
El valor mínimo de la parábola debe ser \( -2 \), lo que significa que el vértice de la parábola está en \( y = -2 \). El vértice de una parábola \( f(x) = ax^2 + bx + c \) está en \( x = -\frac{b}{2a} \), y el valor de la función en el vértice es \( f\left(-\frac{b}{2a}\right) = -\frac{b^2}{4a} + c \).

Sabemos que el valor mínimo es \( -2 \), por lo que:

\[
-\frac{b^2}{4a} + c = -2
\]

Ahora tenemos un sistema de 3 ecuaciones:

1. \( a - b + c = 0 \)
2. \( 4a - 2b + c = 0 \)
3. \( -\frac{b^2}{4a} + c = -2 \)

#### Paso 3: Resolución del sistema
Primero, resolvemos las dos primeras ecuaciones simultáneamente. Restamos la primera de la segunda para eliminar \( c \):

\[
(4a - 2b + c) - (a - b + c) = 0 \implies 3a - b = 0 \implies b = 3a
\]

Sustituimos \( b = 3a \) en la primera ecuación:

\[
a - 3a + c = 0 \implies -2a + c = 0 \implies c = 2a
\]

Ahora, sustituimos \( b = 3a \) y \( c = 2a \) en la tercera ecuación:

\[
-\frac{(3a)^2}{4a} + 2a = -2 \implies -\frac{9a^2}{4a} + 2a = -2 \implies -\frac{9a}{4} + 2a = -2
\]

Multiplicamos todo por 4 para eliminar el denominador:

\[
-9a + 8a = -8 \implies -a = -8 \implies a = 8
\]

Ahora que tenemos \( a = 8 \), sustituimos en las expresiones para \( b \) y \( c \):

\[
b = 3a = 3(8) = 24
\]
\[
c = 2a = 2(8) = 16
\]

#### Paso 4: Función cuadrática
Por lo tanto, la función cuadrática es:

\[
f(x) = 8x^2 + 24x + 16
\]

### Verificación:
- \( f(-1) = 8(-1)^2 + 24(-1) + 16 = 8 - 24 + 16 = 0 \) ✅
- \( f(-2) = 8(-2)^2 + 24(-2) + 16 = 32 - 48 + 16 = 0 \) ✅
- El vértice está en \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2(8)} = -\frac{24}{16} = -1.5 \). El valor mínimo es:

\[
f\left(-1.5\right) = 8\left(-1.5\right)^2 + 24\left(-1.5\right) + 16 = -2
\]

Por lo tanto, la imagen de la función es \( [-2, +\infty) \).

---

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determina el vértice de una parábola?
2. ¿Qué significado tiene el coeficiente "a" en una función cuadrática?
3. ¿Cómo afecta el valor del discriminante en una parábola?
4. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales?
5. ¿Cómo se calcula la imagen de una función?

### Tip: La imagen de una función cuadrática con un valor de \( a > 0 \) siempre será un intervalo de la forma \([y_{\text{mín}}, +\infty)\).

Hallar la función cuadrática f: R → R tal que verifique simultáneamente f(-1) = 0, y su gráfico pasa por el punto (-2, 0) e Im(f) = [-2, +∞).

Descubre cómo encontrar la función cuadrática f(x) que cumple con las condiciones f(-1) = 0, pasa por (-2, 0), y cuya imagen es [-2, +∞). Aprenderás a resolver un sistema de ecuaciones y a determinar el vértice de la parábola. Adecuado para estudiantes de secundaria avanzada (Grades 10-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation