La función cuadrática $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que verifica las condiciones dadas debe tener la forma general:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Condiciones:

1. $f(-1) = 0$ → El valor de la función en $x = -1$ es cero.
2. El gráfico pasa por el punto $(-2, 0)$ → El valor de la función en $x = -2$ también es cero.
3. $\text{Im}(f) = [-2, +\infty)$ → La imagen de la función es el intervalo $[-2, +\infty)$, lo que implica que el vértice de la parábola está en $y = -2$ y es un mínimo.

Paso 1: Condiciones para $f(-1) = 0$ y $f(-2) = 0$

Partimos de la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$, aplicando las dos primeras condiciones:

$f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \implies a - b + c = 0$ $f(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 0 \implies 4a - 2b + c = 0$

Estas son dos ecuaciones:

1. $a - b + c = 0$
2. $4a - 2b + c = 0$

Paso 2: Condición para $\text{Im}(f) = [-2, +\infty)$

El valor mínimo de la parábola debe ser $-2$, lo que significa que el vértice de la parábola está en $y = -2$. El vértice de una parábola $f(x) = ax^2 + bx + c$ está en $x = -\frac{b}{2a}$, y el valor de la función en el vértice es $f\left(-\frac{b}{2a}\right) = -\frac{b^2}{4a} + c$.

Sabemos que el valor mínimo es $-2$, por lo que:

$-\frac{b^2}{4a} + c = -2$

Ahora tenemos un sistema de 3 ecuaciones:

1. $a - b + c = 0$
2. $4a - 2b + c = 0$
3. $-\frac{b^2}{4a} + c = -2$

Paso 3: Resolución del sistema

Primero, resolvemos las dos primeras ecuaciones simultáneamente. Restamos la primera de la segunda para eliminar $c$:

$(4a - 2b + c) - (a - b + c) = 0 \implies 3a - b = 0 \implies b = 3a$

Sustituimos $b = 3a$ en la primera ecuación:

$a - 3a + c = 0 \implies -2a + c = 0 \implies c = 2a$

Ahora, sustituimos $b = 3a$ y $c = 2a$ en la tercera ecuación:

$-\frac{(3a)^2}{4a} + 2a = -2 \implies -\frac{9a^2}{4a} + 2a = -2 \implies -\frac{9a}{4} + 2a = -2$

Multiplicamos todo por 4 para eliminar el denominador:

$-9a + 8a = -8 \implies -a = -8 \implies a = 8$

Ahora que tenemos $a = 8$, sustituimos en las expresiones para $b$ y $c$:

$b = 3a = 3(8) = 24$ $c = 2a = 2(8) = 16$

Paso 4: Función cuadrática

Por lo tanto, la función cuadrática es:

$f(x) = 8x^2 + 24x + 16$

Verificación:

• $f(-1) = 8(-1)^2 + 24(-1) + 16 = 8 - 24 + 16 = 0$ ✅
• $f(-2) = 8(-2)^2 + 24(-2) + 16 = 32 - 48 + 16 = 0$ ✅
• El vértice está en $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2(8)} = -\frac{24}{16} = -1.5$. El valor mínimo es:

$f\left(-1.5\right) = 8\left(-1.5\right)^2 + 24\left(-1.5\right) + 16 = -2$

Por lo tanto, la imagen de la función es $[-2, +\infty)$.

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¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración?

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Tip: La imagen de una función cuadrática con un valor de $a > 0$ siempre será un intervalo de la forma $[y_{\text{mín}}, +\infty)$.