Necesito un ejemplo resuelto de una función cuadrática

Claro, aquí tienes un ejemplo resuelto de una función cuadrática.

Consideremos la función cuadrática:

\[ f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \]

### Paso 1: Encontrar los ceros de la función
Para encontrar los ceros (raíces) de la función, igualamos \( f(x) \) a 0 y resolvemos la ecuación cuadrática:

\[ 2x^2 - 4x + 1 = 0 \]

Utilizamos la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación, donde \( a = 2 \), \( b = -4 \) y \( c = 1 \):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Sustituimos los valores:

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} \]
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} \]
\[ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} \]
\[ x = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Por lo tanto, las raíces son:

\[ x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{y} \quad x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \]

### Paso 2: Encontrar el vértice de la parábola
El vértice de una función cuadrática \( ax^2 + bx + c \) se encuentra en:

\[ x = -\frac{b}{2a} \]

Sustituimos \( a = 2 \) y \( b = -4 \):

\[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{4}{4} \]
\[ x = 1 \]

Para encontrar la coordenada \( y \) del vértice, sustituimos \( x = 1 \) en la función original:

\[ y = 2(1)^2 - 4(1) + 1 \]
\[ y = 2 - 4 + 1 \]
\[ y = -1 \]

Por lo tanto, el vértice es \( (1, -1) \).

### Paso 3: Determinar la concavidad de la parábola
El coeficiente \( a = 2 \) es positivo, lo que significa que la parábola se abre hacia arriba.

### Resumen
- Las raíces de la función son \( x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \) y \( x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \).
- El vértice de la parábola es \( (1, -1) \).
- La parábola se abre hacia arriba.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrías hacer:

1. ¿Cómo se grafica una función cuadrática?
2. ¿Cuál es la diferencia entre las raíces reales y las complejas?
3. ¿Cómo se completa el cuadrado para una función cuadrática?
4. ¿Qué es el discriminante de una ecuación cuadrática y cómo se interpreta?
5. ¿Cómo se encuentra la intersección de una función cuadrática con el eje y?

**Tip:** Para verificar tus soluciones, siempre puedes sustituir las raíces en la ecuación original para asegurarte de que se cumplen las igualdades.

Aprende cómo resolver una función cuadrática f(x) = 2x^2 - 4x + 1 con un ejemplo paso a paso detallado. Este problema cubre conceptos clave como las raíces de la función, el vértice de la parábola y la concavidad. Adecuado para estudiantes de secundaria (Grades 9-12).

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