Claro, aquí tienes un ejemplo resuelto de una función cuadrática.

Consideremos la función cuadrática:

$f(x) = 2x^2 - 4x + 1$

Paso 1: Encontrar los ceros de la función

Para encontrar los ceros (raíces) de la función, igualamos $f(x)$ a 0 y resolvemos la ecuación cuadrática:

$2x^2 - 4x + 1 = 0$

Utilizamos la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación, donde $a = 2$, $b = -4$ y $c = 1$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Sustituimos los valores:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$ $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4}$ $x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4}$ $x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4}$ $x = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Por lo tanto, las raíces son:

$x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{y} \quad x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2: Encontrar el vértice de la parábola

El vértice de una función cuadrática $ax^2 + bx + c$ se encuentra en:

$x = -\frac{b}{2a}$

Sustituimos $a = 2$ y $b = -4$:

$x = -\frac{-4}{2 \cdot 2}$ $x = \frac{4}{4}$ $x = 1$

Para encontrar la coordenada $y$ del vértice, sustituimos $x = 1$ en la función original:

$y = 2(1)^2 - 4(1) + 1$ $y = 2 - 4 + 1$ $y = -1$

Por lo tanto, el vértice es $(1, -1)$.

Paso 3: Determinar la concavidad de la parábola

El coeficiente $a = 2$ es positivo, lo que significa que la parábola se abre hacia arriba.

Resumen

• Las raíces de la función son $x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• El vértice de la parábola es $(1, -1)$.
• La parábola se abre hacia arriba.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrías hacer:

1. ¿Cómo se grafica una función cuadrática?
2. ¿Cuál es la diferencia entre las raíces reales y las complejas?
3. ¿Cómo se completa el cuadrado para una función cuadrática?
4. ¿Qué es el discriminante de una ecuación cuadrática y cómo se interpreta?
5. ¿Cómo se encuentra la intersección de una función cuadrática con el eje y?

Tip: Para verificar tus soluciones, siempre puedes sustituir las raíces en la ecuación original para asegurarte de que se cumplen las igualdades.