Nous devons démontrer que l'expression

$2 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$

est vraie.

Étape 1 : Simplification de l'expression du côté gauche

Commençons par simplifier l'expression du côté gauche :

$2 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$

Nous devons combiner les termes avec les fractions. Pour ce faire, trouvons un dénominateur commun pour les fractions $\frac{1}{x-1}$ et $\frac{1}{x+1}$. Le dénominateur commun est $(x-1)(x+1)$, donc nous réécrivons chaque fraction :

$\frac{1}{x-1} = \frac{(x+1)}{(x-1)(x+1)}, \quad \frac{1}{x+1} = \frac{(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

Maintenant, réécrivons l'expression avec ces fractions :

$2 + \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$

Étape 2 : Combine les fractions

Nous avons maintenant deux fractions avec un même dénominateur, donc nous pouvons les combiner :

$2 + \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = 2 + \frac{x+1 - x+1}{(x-1)(x+1)} = 2 + \frac{2}{(x-1)(x+1)}$

Étape 3 : Simplification de l'expression

L'expression devient :

$2 + \frac{2}{x^2 - 1}$

Maintenant, mettons le $2$ sur un même dénominateur avec $\frac{2}{x^2 - 1}$. Le dénominateur commun est $x^2 - 1$, donc :

$2 = \frac{2(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \frac{2x^2 - 2}{x^2 - 1}$

Ainsi, l'expression du côté gauche devient :

$\frac{2x^2 - 2}{x^2 - 1} + \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{2x^2 - 2 + 2}{x^2 - 1} = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$

Conclusion

Nous avons montré que l'expression du côté gauche se simplifie bien en :

$\frac{2x^2}{x^2 - 1}$

Ce qui est exactement le côté droit de l'égalité donnée.

Ainsi, l'égalité est vérifiée.

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Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions sur cette démonstration ?

Voici quelques questions pour approfondir :

1. Comment les fractions ont-elles été combinées dans l'étape 2 ?
2. Pourquoi avons-nous utilisé $(x-1)(x+1)$ comme dénominateur commun ?
3. Comment peut-on résoudre des équations similaires avec des fractions ?
4. Quelles sont les implications de cette égalité pour des valeurs spécifiques de $x$ ?
5. Comment pourrait-on interpréter cette égalité dans un contexte géométrique ou physique ?

Astuce : Toujours vérifier les domaines de définition des expressions rationnelles (comme celles avec $x-1$ et $x+1$) avant de manipuler les équations.