Bestäm (kortaste) avståndet mellan linjen som går genom punkterna

(−1,1,−1)
   samt  (−7,4,0)
 
och linjen som ges av ekvationerna

1+x
  =
  4−z
  ,
   y=−7
 .

För att bestämma det kortaste avståndet mellan två linjer i tre dimensioner kan vi använda en formel som bygger på vektorerna som definierar linjerna.

### Steg 1: Parametrisering av linjerna

#### Första linjen: Linjen genom punkterna \((-1, 1, -1)\) och \((-7, 4, 0)\)

Vi kan bestämma riktningen för linjen genom att skapa en vektor från punkterna. Låt \(\mathbf{r_1}\) vara riktningen för linjen:
\[
\mathbf{r_1} = (-7 - (-1), 4 - 1, 0 - (-1)) = (-6, 3, 1)
\]
Så parametriseringen för linjen är:
\[
\mathbf{r}(t) = (-1, 1, -1) + t(-6, 3, 1)
\]
Vilket ger:
\[
x = -1 - 6t, \quad y = 1 + 3t, \quad z = -1 + t
\]

#### Andra linjen: \(1 + x = 4 - z\) och \(y = -7\)

Från den första ekvationen får vi \(x = 3 - z\). Så vi kan uttrycka denna linje som:
\[
x = 3 - t, \quad y = -7, \quad z = t
\]
där \(t\) är en parameter.

### Steg 2: Vektorer mellan linjerna
För att bestämma det kortaste avståndet mellan två linjer, behöver vi en vektor som förenar dem. Låt oss välja punkter på respektive linje vid \(t = 0\).

Första linjen (när \(t = 0\)):
\[
P_1 = (-1, 1, -1)
\]
Andra linjen (när \(t = 0\)):
\[
P_2 = (3, -7, 0)
\]
Vektorn mellan dessa två punkter blir:
\[
\mathbf{P_1P_2} = (3 - (-1), -7 - 1, 0 - (-1)) = (4, -8, 1)
\]

### Steg 3: Beräkna normalvektorn mellan linjerna
För att få det kortaste avståndet mellan linjerna, måste vi projicera vektorn \(\mathbf{P_1P_2}\) på normalvektorn till båda linjerna. Normalvektorn får vi genom att ta kryssprodukten av riktningsvektorerna för linjerna.

Riktningsvektorer:
- Första linjen: \(\mathbf{r_1} = (-6, 3, 1)\)
- Andra linjen: \(\mathbf{r_2} = (-1, 0, 1)\)

Kryssprodukten:
\[
\mathbf{n} = \mathbf{r_1} \times \mathbf{r_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -6 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}
\]
\[
\mathbf{n} = \mathbf{i}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(-6 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(-6 \cdot 0 - (-1) \cdot 3)
\]
\[
\mathbf{n} = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(6 - 1) + \mathbf{k}(3)
\]
\[
\mathbf{n} = (3, -5, 3)
\]

### Steg 4: Beräkna avståndet
Det kortaste avståndet \(d\) mellan två linjer är givet av:
\[
d = \frac{|\mathbf{P_1P_2} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}
\]
Beräkna skalärprodukten \(\mathbf{P_1P_2} \cdot \mathbf{n}\):
\[
\mathbf{P_1P_2} \cdot \mathbf{n} = (4, -8, 1) \cdot (3, -5, 3) = 4 \cdot 3 + (-8) \cdot (-5) + 1 \cdot 3 = 12 + 40 + 3 = 55
\]
Beräkna längden av \(\mathbf{n}\):
\[
|\mathbf{n}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}
\]
Så avståndet blir:
\[
d = \frac{|55|}{\sqrt{43}} = \frac{55}{\sqrt{43}}
\]

Det kortaste avståndet mellan linjerna är alltså \(\frac{55}{\sqrt{43}}\).

Vill du ha mer detaljer eller har du några frågor? Här är fem relaterade frågor att utforska:

1. Hur hittar man avståndet mellan två linjer i planet?
2. Vad är betydelsen av kryssprodukten i rymdgeometrin?
3. Hur kan vi verifiera att två linjer är parallella i 3D?
4. Kan vi använda andra metoder för att hitta det kortaste avståndet mellan två linjer?
5. Hur påverkar parametrarna i linjens ekvation dess lutning?

**Tips**: När du använder vektorer för att lösa geometriska problem, är det bra att känna till både skalärprodukter och kryssprodukter, då dessa ger värdefull information om vektorernas relation.

Bestäm (kortaste) avståndet mellan linjen som går genom punkterna (−1,1,−1) samt (−7,4,0) och linjen som ges av ekvationerna 1+x = 4−z, y=−7.

Learn how to calculate the shortest distance between two skew lines in 3D. The problem involves vector geometry, cross product, and dot product calculations. Detailed steps include parametric equations, vector operations, and solving for the distance between the lines. Suitable for Grades 11-12 students.

Math Problem Statement

1+x

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation