1+x

För att bestämma det kortaste avståndet mellan två linjer i tre dimensioner kan vi använda en formel som bygger på vektorerna som definierar linjerna.

Steg 1: Parametrisering av linjerna

Första linjen: Linjen genom punkterna $(-1, 1, -1)$ och $(-7, 4, 0)$

Vi kan bestämma riktningen för linjen genom att skapa en vektor från punkterna. Låt $\mathbf{r_1}$ vara riktningen för linjen: $\mathbf{r_1} = (-7 - (-1), 4 - 1, 0 - (-1)) = (-6, 3, 1)$ Så parametriseringen för linjen är: $\mathbf{r}(t) = (-1, 1, -1) + t(-6, 3, 1)$ Vilket ger: $x = -1 - 6t, \quad y = 1 + 3t, \quad z = -1 + t$

Andra linjen: $1 + x = 4 - z$ och $y = -7$

Från den första ekvationen får vi $x = 3 - z$. Så vi kan uttrycka denna linje som: $x = 3 - t, \quad y = -7, \quad z = t$ där $t$ är en parameter.

Steg 2: Vektorer mellan linjerna

För att bestämma det kortaste avståndet mellan två linjer, behöver vi en vektor som förenar dem. Låt oss välja punkter på respektive linje vid $t = 0$.

Första linjen (när $t = 0$): $P_1 = (-1, 1, -1)$ Andra linjen (när $t = 0$): $P_2 = (3, -7, 0)$ Vektorn mellan dessa två punkter blir: $\mathbf{P_1P_2} = (3 - (-1), -7 - 1, 0 - (-1)) = (4, -8, 1)$

Steg 3: Beräkna normalvektorn mellan linjerna

För att få det kortaste avståndet mellan linjerna, måste vi projicera vektorn $\mathbf{P_1P_2}$ på normalvektorn till båda linjerna. Normalvektorn får vi genom att ta kryssprodukten av riktningsvektorerna för linjerna.

Riktningsvektorer:

• Första linjen: $\mathbf{r_1} = (-6, 3, 1)$
• Andra linjen: $\mathbf{r_2} = (-1, 0, 1)$

Kryssprodukten: $\mathbf{n} = \mathbf{r_1} \times \mathbf{r_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -6 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$ $\mathbf{n} = \mathbf{i}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(-6 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(-6 \cdot 0 - (-1) \cdot 3)$ $\mathbf{n} = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(6 - 1) + \mathbf{k}(3)$ $\mathbf{n} = (3, -5, 3)$

Steg 4: Beräkna avståndet

Det kortaste avståndet $d$ mellan två linjer är givet av: $d = \frac{|\mathbf{P_1P_2} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$ Beräkna skalärprodukten $\mathbf{P_1P_2} \cdot \mathbf{n}$: $\mathbf{P_1P_2} \cdot \mathbf{n} = (4, -8, 1) \cdot (3, -5, 3) = 4 \cdot 3 + (-8) \cdot (-5) + 1 \cdot 3 = 12 + 40 + 3 = 55$ Beräkna längden av $\mathbf{n}$: $|\mathbf{n}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43}$ Så avståndet blir: $d = \frac{|55|}{\sqrt{43}} = \frac{55}{\sqrt{43}}$

Det kortaste avståndet mellan linjerna är alltså $\frac{55}{\sqrt{43}}$.

Vill du ha mer detaljer eller har du några frågor? Här är fem relaterade frågor att utforska:

1. Hur hittar man avståndet mellan två linjer i planet?
2. Vad är betydelsen av kryssprodukten i rymdgeometrin?
3. Hur kan vi verifiera att två linjer är parallella i 3D?
4. Kan vi använda andra metoder för att hitta det kortaste avståndet mellan två linjer?
5. Hur påverkar parametrarna i linjens ekvation dess lutning?

Tips: När du använder vektorer för att lösa geometriska problem, är det bra att känna till både skalärprodukter och kryssprodukter, då dessa ger värdefull information om vektorernas relation.