Bestäm (kortaste) avståndet mellan linjen som går genom punkterna

(−3,−5,−4)  samt (−2,−6,−7)

och linjen som ges av ekvationerna

3+x=1+1/2 y=1+1/2 z

För att bestämma det kortaste avståndet mellan två linjer i rymden använder vi en metod som involverar vektorer. Här är de två stegen vi måste följa:

### 1. Parametrisering av linjerna
Först parametriserar vi de två linjerna.

#### Linje 1 (genom punkterna \((-3, -5, -4)\) och \((-2, -6, -7)\)):
Vi kan hitta riktningsvektorn \(\mathbf{v_1}\) genom att subtrahera koordinaterna för de två punkterna på linjen:
\[
\mathbf{v_1} = (-2 - (-3), -6 - (-5), -7 - (-4)) = (1, -1, -3)
\]
Parametrisk form för linje 1 blir:
\[
\mathbf{r_1}(t) = (-3, -5, -4) + t(1, -1, -3), \quad t \in \mathbb{R}
\]

#### Linje 2 (givet i ekvationsform \(3+x = 1 + \frac{1}{2}y = 1 + \frac{1}{2}z\)):
Vi kan skriva om detta som en parametrisk linje. Genom att sätta \(t\) som parameter, får vi:
\[
x = t - 3, \quad y = 2t - 2, \quad z = 2t - 2
\]
Alltså kan vi skriva parametriseringen av linje 2 som:
\[
\mathbf{r_2}(t) = (3, 1, 1) + t(1, 2, 2), \quad t \in \mathbb{R}
\]

Riktningsvektorn för linje 2 är alltså \(\mathbf{v_2} = (1, 2, 2)\).

### 2. Beräkning av det kortaste avståndet
Det kortaste avståndet mellan två linjer ges av formeln:
\[
d = \frac{|(\mathbf{r_2}(0) - \mathbf{r_1}(0)) \cdot (\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2})|}{|\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2}|}
\]
där \(\mathbf{r_1}(0)\) och \(\mathbf{r_2}(0)\) är punktvektorer från respektive linje, \(\mathbf{v_1}\) och \(\mathbf{v_2}\) är riktningsvektorerna, och \(\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2}\) är kryssprodukten mellan riktningsvektorerna.

- Punkt på linje 1: \(\mathbf{r_1}(0) = (-3, -5, -4)\)
- Punkt på linje 2: \(\mathbf{r_2}(0) = (3, 1, 1)\)

Vi börjar med att beräkna \(\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2}\):

\[
\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(2) - (-3)(2)) - \mathbf{j}((1)(2) - (-3)(1)) + \mathbf{k}((1)(2) - (1)(-1))
\]
\[
= \mathbf{i}(-2 + 6) - \mathbf{j}(2 + 3) + \mathbf{k}(2 + 1) = 4\mathbf{i} - 5\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
Alltså är \(\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2} = (4, -5, 3)\).

Nu beräknar vi skillnaden mellan punkterna på linjerna \(\mathbf{r_2}(0) - \mathbf{r_1}(0)\):
\[
\mathbf{r_2}(0) - \mathbf{r_1}(0) = (3, 1, 1) - (-3, -5, -4) = (6, 6, 5)
\]

Vi kan nu beräkna skalärprodukten \((\mathbf{r_2}(0) - \mathbf{r_1}(0)) \cdot (\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2})\):
\[
(6, 6, 5) \cdot (4, -5, 3) = 6(4) + 6(-5) + 5(3) = 24 - 30 + 15 = 9
\]

Slutligen beräknar vi längden av \(\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2}\):
\[
|\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
\]

Det kortaste avståndet blir då:
\[
d = \frac{|9|}{5\sqrt{2}} = \frac{9}{5\sqrt{2}} \approx 1.27
\]

Alltså är det kortaste avståndet mellan linjerna ungefär \(1.27\) enheter.

Vill du ha mer detaljer eller har du några frågor?

### Relaterade frågor:
1. Hur beräknas kryssprodukten mellan två vektorer i tre dimensioner?
2. Vad innebär den parametriska formen av en linje?
3. Hur hittar man en riktningsvektor från två punkter?
4. Vad representerar kryssprodukten av två vektorer geometriskt?
5. Hur kan man använda skalärprodukt för att bestämma avstånd i rymden?

### Tips:
Kryssprodukten mellan två vektorer ger en vektor som är vinkelrät mot båda och kan användas för att beräkna områden eller avstånd i tre dimensioner.

Bestäm (kortaste) avståndet mellan linjen som går genom punkterna (−3,−5,−4) samt (−2,−6,−7) och linjen som ges av ekvationerna 3+x=1+1/2 y=1+1/2 z

Learn how to calculate the shortest distance between two lines in 3D space using vector algebra, including parametrization, cross product, and distance formula. This detailed step-by-step guide covers key concepts for advanced high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation