soit la suite (Un): Un = 4/9rac(n+4). A partir de quel rang n, a-t-on 0 < Un <ou= 10^-2

Soit la suite \( U_n = \frac{4}{9\sqrt{n+4}} \).

Nous cherchons à déterminer à partir de quel rang \( n \), on a :
\[
0 < U_n \leq 10^{-2}
\]

### Étapes :

1. \( U_n = \frac{4}{9\sqrt{n+4}} \leq 10^{-2} \)
   
2. Multiplication des deux côtés de l'inégalité par \( 9\sqrt{n+4} \) pour se débarrasser du dénominateur :
\[
4 \leq 10^{-2} \times 9\sqrt{n+4}
\]
\[
4 \leq 9 \times 10^{-2} \times \sqrt{n+4}
\]
\[
4 \leq 0,09 \times \sqrt{n+4}
\]

3. Division des deux côtés de l'inégalité par 0,09 :
\[
\frac{4}{0,09} \leq \sqrt{n+4}
\]
\[
44,44 \leq \sqrt{n+4}
\]

4. Maintenant, on élève les deux côtés au carré pour se débarrasser de la racine carrée :
\[
44,44^2 \leq n + 4
\]
\[
1975,36 \leq n + 4
\]

5. Enfin, soustraction de 4 des deux côtés :
\[
1971,36 \leq n
\]

### Conclusion :
À partir du rang \( n \geq 1972 \), on a \( 0 < U_n \leq 10^{-2} \).

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

### Questions relatives :
1. Comment résoudre une inégalité contenant une racine carrée ?
2. Quelle est la différence entre une suite convergente et une suite divergente ?
3. Comment savoir si une suite tend vers zéro ?
4. Comment démontrer la monotonie d'une suite ?
5. Que signifie le terme "rang" dans une suite numérique ?

### Tip :
Toujours vérifier vos calculs lorsque vous manipulez des équations avec des racines carrées pour éviter des erreurs d'arrondis.

Soit la suite (Un): Un = 4/9rac(n+4). A partir de quel rang n, a-t-on 0 < Un <ou= 10^-2

Explore how to find the minimum value of n in the sequence Un = 4/(9√(n+4)) where 0 < Un ≤ 10^-2. Learn key steps involving inequalities, square roots, and solving for n. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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