La distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos en una muestra de tamaño \( n \) extraída sin reemplazo de una población finita de tamaño \( N \) que contiene exactamente \( K \) éxitos. 

### Definición

La función de probabilidad de la distribución hipergeométrica es:

\[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \]

donde:
- \( \binom{K}{k} \) es el coeficiente binomial y representa el número de maneras de elegir \( k \) éxitos de \( K \) posibles éxitos.
- \( \binom{N-K}{n-k} \) es el número de maneras de elegir \( n - k \) fracasos de los \( N - K \) posibles fracasos.
- \( \binom{N}{n} \) es el número total de maneras de elegir \( n \) elementos de una población de \( N \).

### Ejemplo

Supongamos que tienes una urna con 20 bolas, 8 de las cuales son rojas (éxitos) y 12 son negras (fracasos). Quieres extraer 5 bolas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de las bolas extraídas sean rojas?

Aquí:
- \( N = 20 \) (tamaño de la población)
- \( K = 8 \) (número de éxitos en la población)
- \( n = 5 \) (tamaño de la muestra)
- \( k = 3 \) (número de éxitos en la muestra)

Usamos la fórmula de la distribución hipergeométrica:

\[ P(X = 3) = \frac{\binom{8}{3} \binom{12}{2}}{\binom{20}{5}} \]

Calculamos cada coeficiente binomial:

\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \]

\[ \binom{12}{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66 \]

\[ \binom{20}{5} = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5!15!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15504 \]

Ahora, sustituimos estos valores en la fórmula:

\[ P(X = 3) = \frac{56 \cdot 66}{15504} = \frac{3696}{15504} \approx 0.2383 \]

Por lo tanto, la probabilidad de que 3 de las bolas extraídas sean rojas es aproximadamente 0.2383 (o 23.83%).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrías hacer:

1. ¿Cómo se diferencia la distribución hipergeométrica de la binomial?
2. ¿Cuál es la media y la varianza de una distribución hipergeométrica?
3. ¿Cómo se aplica la distribución hipergeométrica en estudios de calidad?
4. ¿Qué es el coeficiente binomial y cómo se calcula?
5. ¿En qué situaciones prácticas se utiliza la distribución hipergeométrica?

**Tip:** La distribución hipergeométrica es especialmente útil en situaciones donde el muestreo se realiza sin reemplazo y se busca la probabilidad de un número específico de éxitos en la muestra.

Explore the hypergeometric distribution, a discrete probability distribution describing the number of successes in a sample drawn without replacement from a finite population. Learn how to calculate probabilities using the hypergeometric distribution with a detailed example. Suitable for advanced high school and college students.

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