La distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos en una muestra de tamaño $n$ extraída sin reemplazo de una población finita de tamaño $N$ que contiene exactamente $K$ éxitos.

Definición

La función de probabilidad de la distribución hipergeométrica es:

$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

donde:

• $\binom{K}{k}$ es el coeficiente binomial y representa el número de maneras de elegir $k$ éxitos de $K$ posibles éxitos.
• $\binom{N-K}{n-k}$ es el número de maneras de elegir $n - k$ fracasos de los $N - K$ posibles fracasos.
• $\binom{N}{n}$ es el número total de maneras de elegir $n$ elementos de una población de $N$.

Ejemplo

Supongamos que tienes una urna con 20 bolas, 8 de las cuales son rojas (éxitos) y 12 son negras (fracasos). Quieres extraer 5 bolas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de las bolas extraídas sean rojas?

Aquí:

• $N = 20$ (tamaño de la población)
• $K = 8$ (número de éxitos en la población)
• $n = 5$ (tamaño de la muestra)
• $k = 3$ (número de éxitos en la muestra)

Usamos la fórmula de la distribución hipergeométrica:

$P(X = 3) = \frac{\binom{8}{3} \binom{12}{2}}{\binom{20}{5}}$

Calculamos cada coeficiente binomial:

$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

$\binom{12}{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$

$\binom{20}{5} = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5!15!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15504$

Ahora, sustituimos estos valores en la fórmula:

$P(X = 3) = \frac{56 \cdot 66}{15504} = \frac{3696}{15504} \approx 0.2383$

Por lo tanto, la probabilidad de que 3 de las bolas extraídas sean rojas es aproximadamente 0.2383 (o 23.83%).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrías hacer:

1. ¿Cómo se diferencia la distribución hipergeométrica de la binomial?
2. ¿Cuál es la media y la varianza de una distribución hipergeométrica?
3. ¿Cómo se aplica la distribución hipergeométrica en estudios de calidad?
4. ¿Qué es el coeficiente binomial y cómo se calcula?
5. ¿En qué situaciones prácticas se utiliza la distribución hipergeométrica?

Tip: La distribución hipergeométrica es especialmente útil en situaciones donde el muestreo se realiza sin reemplazo y se busca la probabilidad de un número específico de éxitos en la muestra.