Метод половинного деления (метод бисекции) применяется для уточнения корня уравнения $f(x) = 0$ на отрезке $[a, b]$, где $f(a)$ и $f(b)$ имеют разные знаки (то есть, функция меняет знак, а значит, существует хотя бы один корень на этом отрезке).

Дано уравнение:
$f(x) = x^3 + 2x + 4 = 0$ Точность: $\varepsilon = 0.1$.

1. Найдем отрезок, содержащий корень

Подставим несколько значений:

$f(-3) = (-3)^3 + 2(-3) + 4 = -27 - 6 + 4 = -29$

$f(-2) = (-2)^3 + 2(-2) + 4 = -8 - 4 + 4 = -8$

$f(-1) = (-1)^3 + 2(-1) + 4 = -1 - 2 + 4 = 1$

Так как $f(-2) < 0$ и $f(-1) > 0$, корень находится на отрезке $[-2, -1]$.

2. Применим метод половинного деления

Будем делить отрезок пополам, пока его длина не станет меньше $\varepsilon = 0.1$.

Шаг 1:
Средняя точка $c_1 = \frac{-2 + (-1)}{2} = -1.5$.
Вычислим $f(-1.5)$:

$f(-1.5) = (-1.5)^3 + 2(-1.5) + 4 = -3.375 - 3 + 4 = -2.375$

Так как $f(-1.5) < 0$, новый отрезок: $[-1.5, -1]$.

Шаг 2:
Средняя точка $c_2 = \frac{-1.5 + (-1)}{2} = -1.25$.
Вычислим $f(-1.25)$:

$f(-1.25) = (-1.25)^3 + 2(-1.25) + 4 = -1.953125 - 2.5 + 4 = -0.453125$

Так как $f(-1.25) < 0$, новый отрезок: $[-1.25, -1]$.

Шаг 3:
Средняя точка $c_3 = \frac{-1.25 + (-1)}{2} = -1.125$.
Вычислим $f(-1.125)$:

$f(-1.125) = (-1.125)^3 + 2(-1.125) + 4 = -1.423828 - 2.25 + 4 = 0.326172$

Так как $f(-1.125) > 0$, новый отрезок: $[-1.25, -1.125]$.

Шаг 4:
Средняя точка $c_4 = \frac{-1.25 + (-1.125)}{2} = -1.1875$.
Вычислим $f(-1.1875)$:

$f(-1.1875) = (-1.1875)^3 + 2(-1.1875) + 4 = -1.675537 - 2.375 + 4 = -0.050537$

Так как $f(-1.1875) < 0$, новый отрезок: $[-1.1875, -1.125]$.

Шаг 5:
Средняя точка $c_5 = \frac{-1.1875 + (-1.125)}{2} = -1.15625$.
Вычислим $f(-1.15625)$:

$f(-1.15625) = (-1.15625)^3 + 2(-1.15625) + 4 = -1.548843 - 2.3125 + 4 = 0.138657$

Так как $f(-1.15625) > 0$, новый отрезок: $[-1.1875, -1.15625]$.

Длина отрезка:
$|-1.1875 - (-1.15625)| = 0.03125 < 0.1$ Значит, приближенный корень:
$x \approx -1.17$

---

Ответ:

Приближенное значение корня уравнения с точностью $\varepsilon = 0.1$:
$x \approx -1.17$

Хочешь подробное объяснение по какому-то шагу?

Дополнительные вопросы:

1. Как работает метод бисекции и почему он сходится?
2. Можно ли использовать метод Ньютона для решения этого уравнения?
3. Как выбрать начальный отрезок для метода половинного деления?
4. В каких случаях метод бисекции не применим?
5. Какие другие численные методы существуют для поиска корня уравнения?

Совет:
При численном решении уравнений всегда стоит сначала построить график функции, чтобы убедиться в наличии корней и определить подходящий интервал.