Para resolver a equação \((x+3)^2 = 2x(x+7)\), vamos seguir os seguintes passos:

1. Expandir ambos os lados da equação.
2. Simplificar a equação para encontrar as raízes.

**Passo 1: Expandir ambos os lados da equação.**

O lado esquerdo da equação \((x+3)^2\):

\[
(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9
\]

O lado direito da equação \(2x(x+7)\):

\[
2x(x+7) = 2x^2 + 14x
\]

**Passo 2: Simplificar a equação.**

Agora, igualamos as duas expressões:

\[
x^2 + 6x + 9 = 2x^2 + 14x
\]

Vamos reorganizar todos os termos em um lado da equação para obter uma equação quadrática:

\[
x^2 + 6x + 9 - 2x^2 - 14x = 0
\]

Simplificando:

\[
-x^2 - 8x + 9 = 0
\]

Multiplicando toda a equação por \(-1\) para tornar a equação mais simples:

\[
x^2 + 8x - 9 = 0
\]

**Passo 3: Resolver a equação quadrática.**

Vamos usar a fórmula quadrática \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) onde \(a = 1\), \(b = 8\) e \(c = -9\).

\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}
\]

\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2}
\]

\[
x = \frac{-8 \pm 10}{2}
\]

Então temos duas soluções:

\[
x_1 = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1
\]

\[
x_2 = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9
\]

Portanto, as soluções da equação são \(x = 1\) e \(x = -9\).

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 5 perguntas que você pode querer fazer:
1. Como aplicar a fórmula quadrática a outras equações?
2. O que fazer se a equação quadrática não tiver soluções reais?
3. Como resolver equações quadráticas usando fatoração?
4. Pode explicar a derivação da fórmula quadrática?
5. Existem métodos alternativos para resolver equações quadráticas?

**Dica:** Sempre verifique suas soluções substituindo-as de volta na equação original para garantir que são corretas.

Aprenda como resolver a equação quadrática (x+3)^2 = 2x(x+7) com uma solução detalhada passo a passo. Este problema cobre conceitos algébricos chave, incluindo a fórmula da equação quadrática e o processo de simplificação. Adequado para estudantes do Ensino Médio.

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