Pour résoudre l'exercice à partir de la question 3, analysons d'abord le contenu de la question présentée dans les images.

Interprétation de la question 3:

Dans l'image, la question 3 semble porter sur le calcul d'une intégrale définie. L'intégrale présentée est:

$\int_{0}^{1} \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt$

Cette intégrale peut être résolue en utilisant une substitution appropriée. Voici les étapes de la résolution:

Étape 1: Substitution Trigonométrique

On reconnaît que l'intégrale contient une expression du type $\sqrt{1 - t^2}$, qui suggère l'utilisation d'une substitution trigonométrique.

Soit $t = \sin(\theta)$, donc $dt = \cos(\theta) d\theta$.

Étape 2: Changement des bornes d'intégration

Lorsque $t = 0$, alors $\theta = 0$.

Lorsque $t = 1$, alors $\theta = \frac{\pi}{2}$.

Étape 3: Remplacer dans l'intégrale

En utilisant la substitution, l'intégrale devient :

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\theta) \cos(\theta)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} \cos(\theta) \, d\theta$

Simplifions l'expression sous le radical. On a $\sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \cos(\theta)$. Donc l'intégrale devient :

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\theta) \cos^2(\theta)}{\cos(\theta)} \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) \cos(\theta) \, d\theta$

Étape 4: Utilisation de l'identité trigonométrique

L'intégrale peut être simplifiée en utilisant l'identité trigonométrique:

$\sin(\theta) \cos(\theta) = \frac{1}{2} \sin(2\theta)$

Donc, l'intégrale devient:

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2\theta) \, d\theta$

Étape 5: Intégration

L'intégrale de $\sin(2\theta)$ est:

$-\frac{1}{2} \cos(2\theta)$

Ainsi, l'intégrale complète devient:

[ \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \cos(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4} \left[\cos(0) - \cos(\pi)\right] = \frac{1}{4} [1 - (-1)] = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2} ]

Résultat final:

L'intégrale est égale à $\frac{1}{2}$.

Si vous avez besoin de plus de détails ou d'explications, je suis là pour vous aider!

Questions associées :

1. Pourquoi utilisons-nous une substitution trigonométrique pour résoudre cette intégrale ?
2. Quelles autres substitutions peuvent simplifier des intégrales similaires ?
3. Comment se comportent les intégrales définies lorsque les bornes d'intégration sont modifiées ?
4. Comment se résolvent les intégrales qui incluent des expressions trigonométriques complexes ?
5. Quelles sont les applications des intégrales définies en physique ou en ingénierie ?

Astuce : Lorsque vous rencontrez une expression sous la forme $\sqrt{1 - t^2}$, envisagez une substitution trigonométrique comme $t = \sin(\theta)$ pour simplifier l'intégrale.