Pour résoudre l'exercice à partir de la question 3, analysons d'abord le contenu de la question présentée dans les images.

### Interprétation de la question 3:
Dans l'image, la question 3 semble porter sur le calcul d'une intégrale définie. L'intégrale présentée est:

\[
\int_{0}^{1} \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt
\]

Cette intégrale peut être résolue en utilisant une substitution appropriée. Voici les étapes de la résolution:

### Étape 1: Substitution Trigonométrique
On reconnaît que l'intégrale contient une expression du type \( \sqrt{1 - t^2} \), qui suggère l'utilisation d'une substitution trigonométrique.

Soit \( t = \sin(\theta) \), donc \( dt = \cos(\theta) d\theta \).

### Étape 2: Changement des bornes d'intégration
Lorsque \( t = 0 \), alors \( \theta = 0 \).

Lorsque \( t = 1 \), alors \( \theta = \frac{\pi}{2} \).

### Étape 3: Remplacer dans l'intégrale
En utilisant la substitution, l'intégrale devient :

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\theta) \cos(\theta)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} \cos(\theta) \, d\theta
\]

Simplifions l'expression sous le radical. On a \( \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \cos(\theta) \). Donc l'intégrale devient :

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\theta) \cos^2(\theta)}{\cos(\theta)} \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) \cos(\theta) \, d\theta
\]

### Étape 4: Utilisation de l'identité trigonométrique
L'intégrale peut être simplifiée en utilisant l'identité trigonométrique:

\[
\sin(\theta) \cos(\theta) = \frac{1}{2} \sin(2\theta)
\]

Donc, l'intégrale devient:

\[
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2\theta) \, d\theta
\]

### Étape 5: Intégration
L'intégrale de \( \sin(2\theta) \) est:

\[
-\frac{1}{2} \cos(2\theta)
\]

Ainsi, l'intégrale complète devient:

\[
\frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \cos(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4} \left[\cos(0) - \cos(\pi)\right] = \frac{1}{4} [1 - (-1)] = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}
\]

### Résultat final:
L'intégrale est égale à \( \frac{1}{2} \).

Si vous avez besoin de plus de détails ou d'explications, je suis là pour vous aider!

### Questions associées :
1. Pourquoi utilisons-nous une substitution trigonométrique pour résoudre cette intégrale ?
2. Quelles autres substitutions peuvent simplifier des intégrales similaires ?
3. Comment se comportent les intégrales définies lorsque les bornes d'intégration sont modifiées ?
4. Comment se résolvent les intégrales qui incluent des expressions trigonométriques complexes ?
5. Quelles sont les applications des intégrales définies en physique ou en ingénierie ?

**Astuce :** Lorsque vous rencontrez une expression sous la forme \( \sqrt{1 - t^2} \), envisagez une substitution trigonométrique comme \( t = \sin(\theta) \) pour simplifier l'intégrale.

Learn how to solve the definite integral ∫₀¹ t / √(1 - t²) dt using trigonometric substitution. This detailed step-by-step solution covers the substitution method and simplification techniques for integrals involving trigonometric expressions. Suitable for university-level calculus students.

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