https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/172475567785516nnjh58.jpg

Напиши полное решение задачи с картинки На русском языке

Рассмотрим предел:

\[
\lim\limits_{x \to 0} \left( \cos(2x) \cdot \frac{1}{\sin^2(3x)} \right).
\]

Начнём с анализа каждого компонента функции.

1. **\( \cos(2x) \)** при \( x \to 0 \) приближается к:
   \[
   \cos(2x) \approx 1 - \frac{(2x)^2}{2} = 1 - 2x^2.
   \]
   Однако, для предела при \( x \to 0 \), можно использовать приближение \( \cos(2x) \approx 1 \), так как \( x^2 \) — это величина значительно меньшая, чем 1.

2. **\( \sin^2(3x) \)** при \( x \to 0 \) также раскладывается в ряд Тейлора:
   \[
   \sin(3x) \approx 3x,
   \]
   \[
   \sin^2(3x) \approx (3x)^2 = 9x^2.
   \]

3. Подставляем приближения в исходный предел:
   \[
   \lim\limits_{x \to 0} \left( \cos(2x) \cdot \frac{1}{\sin^2(3x)} \right) = \lim\limits_{x \to 0} \left( 1 \cdot \frac{1}{9x^2} \right) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{9x^2}.
   \]

4. Теперь рассмотрим поведение выражения при \( x \to 0 \):
   \[
   \frac{1}{9x^2} \rightarrow \infty \text{ при } x \rightarrow 0.
   \]
   Это означает, что предел стремится к бесконечности.

**Ответ:** Предел не существует, так как \( \lim\limits_{x \to 0} \left( \cos(2x) \cdot \frac{1}{\sin^2(3x)} \right) = \infty \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужны уточнения, пожалуйста, дайте знать!

Вот 5 вопросов, которые могут быть полезны:
1. Как различать ситуации, когда предел стремится к бесконечности, от случаев, когда предел не существует?
2. Какие методы используются для нахождения пределов, если они стремятся к бесконечности?
3. Как можно использовать правило Лопиталя для нахождения пределов?
4. Почему важно учитывать разложение функций в ряд Тейлора при нахождении пределов?
5. Какое значение имеет порядок малости в анализе поведения функций?

**Совет:** Всегда стоит учитывать порядок малости функции при \( x \to 0 \), чтобы определить правильное приближение и верно вычислить предел.

Узнайте, как решить предел lim(cos(2x) * (1/sin^2(3x))) при x -> 0 с подробным разбором и использованием разложения в ряд Тейлора. Проблема включает в себя пределы, тригонометрические функции и разложение функций в ряд Тейлора. Подходит для студентов высших классов школы и университетского уровня.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation