jika √lim x→0 adalah 4/x sin 2x - 4.cos 2x/x.tangen2x = b, maka nilai 2b adalah

Diketahui persamaan berikut:

\[
\sqrt{\lim_{x \to 0}} \frac{4}{x} \sin 2x - 4 \cdot \cos 2x \cdot \frac{1}{x} \cdot \tan 2x = b
\]

Kita perlu mencari nilai \( 2b \). Mari kita uraikan langkah demi langkah.

### Langkah 1: Analisis bentuk limit
Kita mulai dengan meninjau bagian dalam dari limit, yaitu:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{4}{x} \sin 2x - 4 \cdot \cos 2x \cdot \frac{1}{x} \cdot \tan 2x
\]

### Langkah 2: Penyederhanaan menggunakan limit-limit standar
Gunakan beberapa limit yang diketahui:

- \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
- \(\lim_{x \to 0} \tan x = x\)
- \(\lim_{x \to 0} \cos x = 1\)

#### Evaluasi bagian pertama:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{4}{x} \sin 2x = \lim_{x \to 0} 4 \cdot \frac{\sin 2x}{x}
\]
Gunakan substitusi \(\frac{\sin 2x}{x} = 2\), sehingga:
\[
4 \cdot 2 = 8
\]

#### Evaluasi bagian kedua:
\[
\lim_{x \to 0} 4 \cdot \cos 2x \cdot \frac{1}{x} \cdot \tan 2x
\]
Karena \(\tan 2x \approx 2x\) untuk \(x\) mendekati 0, maka:
\[
\lim_{x \to 0} 4 \cdot \cos 2x \cdot \frac{2x}{x} = 4 \cdot 1 \cdot 2 = 8
\]

### Langkah 3: Hasil limit
Setelah menyederhanakan kedua bagian, kita memiliki:
\[
8 - 8 = 0
\]

Maka:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{4}{x} \sin 2x - 4 \cdot \cos 2x \cdot \frac{1}{x} \cdot \tan 2x = 0
\]

Jadi, \( \sqrt{0} = 0 \), dan \( b = 0 \).

### Langkah 4: Hitung \( 2b \)
Karena \( b = 0 \), maka:
\[
2b = 2 \times 0 = 0
\]

### Jawaban:
\[
2b = 0
\]

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau ingin menanyakan hal lain? 

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa Anda eksplorasi lebih lanjut:
1. Bagaimana cara menyelesaikan limit tak tentu menggunakan aturan L'Hopital?
2. Apa definisi limit tak hingga dan contohnya?
3. Bagaimana sifat-sifat trigonometri berperan dalam menyelesaikan limit?
4. Kapan penggunaan limit-limit standar seperti \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) diperlukan?
5. Bagaimana cara menggunakan turunan untuk menyelesaikan soal limit?

**Tip:** Limit trigonometri sering kali diselesaikan dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk mendekati fungsi pada sekitar titik nol.

Discover how to solve a limit problem involving trigonometric functions like sin, cos, and tan at x approaching zero. This detailed solution covers key limit theorems and trigonometric properties, perfect for Grades 11-12 math students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation