Diketahui persamaan berikut:

$\sqrt{\lim_{x \to 0}} \frac{4}{x} \sin 2x - 4 \cdot \cos 2x \cdot \frac{1}{x} \cdot \tan 2x = b$

Kita perlu mencari nilai $2b$. Mari kita uraikan langkah demi langkah.

Langkah 1: Analisis bentuk limit

Kita mulai dengan meninjau bagian dalam dari limit, yaitu:

$\lim_{x \to 0} \frac{4}{x} \sin 2x - 4 \cdot \cos 2x \cdot \frac{1}{x} \cdot \tan 2x$

Langkah 2: Penyederhanaan menggunakan limit-limit standar

Gunakan beberapa limit yang diketahui:

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \tan x = x$
• $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$

Evaluasi bagian pertama:

$\lim_{x \to 0} \frac{4}{x} \sin 2x = \lim_{x \to 0} 4 \cdot \frac{\sin 2x}{x}$ Gunakan substitusi $\frac{\sin 2x}{x} = 2$, sehingga: $4 \cdot 2 = 8$

Evaluasi bagian kedua:

$\lim_{x \to 0} 4 \cdot \cos 2x \cdot \frac{1}{x} \cdot \tan 2x$ Karena $\tan 2x \approx 2x$ untuk $x$ mendekati 0, maka: $\lim_{x \to 0} 4 \cdot \cos 2x \cdot \frac{2x}{x} = 4 \cdot 1 \cdot 2 = 8$

Langkah 3: Hasil limit

Setelah menyederhanakan kedua bagian, kita memiliki: $8 - 8 = 0$

Maka:

$\lim_{x \to 0} \frac{4}{x} \sin 2x - 4 \cdot \cos 2x \cdot \frac{1}{x} \cdot \tan 2x = 0$

Jadi, $\sqrt{0} = 0$, dan $b = 0$.

Langkah 4: Hitung $2b$

Karena $b = 0$, maka: $2b = 2 \times 0 = 0$

Jawaban:

$2b = 0$

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau ingin menanyakan hal lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa Anda eksplorasi lebih lanjut:

1. Bagaimana cara menyelesaikan limit tak tentu menggunakan aturan L'Hopital?
2. Apa definisi limit tak hingga dan contohnya?
3. Bagaimana sifat-sifat trigonometri berperan dalam menyelesaikan limit?
4. Kapan penggunaan limit-limit standar seperti $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ diperlukan?
5. Bagaimana cara menggunakan turunan untuk menyelesaikan soal limit?

Tip: Limit trigonometri sering kali diselesaikan dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk mendekati fungsi pada sekitar titik nol.