Рассмотрим выражение для предела, который необходимо найти:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)}{\sin^2(3x)}$

Шаг 1: Исследуем числитель и знаменатель

1. Числитель: $\cos(2x)$. Когда $x$ стремится к нулю, $\cos(2x)$ стремится к $\cos(0) = 1$.

2. Знаменатель: $\sin^2(3x)$. Функция $\sin(3x)$ при $x \to 0$ стремится к $0$, так как $\sin(0) = 0$.

Шаг 2: Применение предельных формул

Используем тот факт, что при $x \to 0$ $\sin(x) \approx x$ (первая приближение через ряд Тейлора):

$\sin(3x) \approx 3x$

Тогда:

$\sin^2(3x) \approx (3x)^2 = 9x^2$

Шаг 3: Подстановка приближений в предел

Подставляем приближения в выражение предела:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)}{\sin^2(3x)} \approx \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)}{9x^2}$

При $x \to 0$ $\cos(2x) \approx 1$, поэтому:

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{9x^2}$

Шаг 4: Определение предела

Так как при $x \to 0$ $9x^2$ также стремится к нулю, дробь $\frac{1}{9x^2}$ стремится к бесконечности.

Итог:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)}{\sin^2(3x)} = +\infty$

Ответ: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)}{\sin^2(3x)} = +\infty$.

Есть ли вопросы по решению? Хотите подробное объяснение какого-то этапа?

Дополнительные вопросы:

1. Что произойдет с пределом, если в знаменателе будет $\sin(3x)$, а не $\sin^2(3x)$?
2. Как изменится результат, если в числителе будет $\cos(3x)$?
3. Можно ли использовать правило Лопиталя для нахождения данного предела? Если да, то как?
4. Какой результат получится, если $\sin^2(3x)$ заменить на $\sin(6x)$?
5. Какой предел получится, если заменить $\cos(2x)$ на $\sin(2x)$?

Совет: При вычислении пределов тригонометрических функций часто полезно использовать приближения через ряды Тейлора.