我们需要证明数列 $a_n$ 具有极限且该极限是有限的。给定递推关系式：

$a_{n+1} = a_n + \frac{a_n^2}{n^2}, \quad 0 \leq a_1 < 1.$

步骤 1：分析递推关系

递推关系表明每一项 $a_{n+1}$ 由前一项 $a_n$ 递推得到，且递推的增量为 $\frac{a_n^2}{n^2}$。由于 $a_n$ 是从 $a_1$ 开始递推得到的，并且 $0 \leq a_1 < 1$，因此我们首先观察数列的单调性和有界性。

步骤 2：证明数列是有界的

我们首先证明数列 $a_n$ 是有界的。由于递推关系中，增量项 $\frac{a_n^2}{n^2}$ 为正且越来越小，因此每一项都大于或等于前一项。即：

$a_{n+1} = a_n + \frac{a_n^2}{n^2} \geq a_n.$

因此，数列 $a_n$ 是单调递增的。

接下来，我们证明 $a_n$ 是有界的。假设数列没有上界，即存在某个 $n$ 使得 $a_n$ 大于或等于某个常数（比如 1），那么由于 $a_n$ 是单调递增的，这将导致数列 $a_n$ 无限制地增大。但我们注意到每项的增量 $\frac{a_n^2}{n^2}$ 随着 $n$ 增大而逐渐变小。因此，数列 $a_n$ 的增长速度是逐渐减缓的，不会无限增大。

实际上，为了更精确地估计 $a_n$ 的增长，我们可以进一步证明它的增长是有限的。具体地，考虑 $a_n$ 的增量：

$a_{n+1} - a_n = \frac{a_n^2}{n^2}.$

由于 $a_n$ 是单调递增且初始值小于 1，增量项 $\frac{a_n^2}{n^2}$ 必定小于 1，并且随着 $n$ 增大趋近于 0。因此数列 $a_n$ 的增量逐渐减小，最终数列 $a_n$ 不会无限增大，且必定收敛于某个有限值。

步骤 3：证明极限存在

我们接下来证明数列的极限存在。假设数列 $a_n$ 有极限 $L$，则对于足够大的 $n$，有：

$a_n \to L \quad \text{且} \quad a_{n+1} \to L.$

由递推关系式 $a_{n+1} = a_n + \frac{a_n^2}{n^2}$，我们得：

$L = L + \lim_{n \to \infty} \frac{L^2}{n^2}.$

显然， $\lim_{n \to \infty} \frac{L^2}{n^2} = 0$，因此：

$L = L.$

这个等式总是成立，意味着数列 $a_n$ 的极限是存在的。

步骤 4：求极限的值

假设 $a_n$ 收敛于某个有限值 $L$，我们已经证明了极限存在。接下来，考虑 $a_n$ 的增长速度，得出数列的极限值 $L = 0$。因为对于 $a_n$ 的增量 $\frac{a_n^2}{n^2}$ 来说，它是一个逐渐趋近于 0 的项，因此数列的增长逐渐减小。

结论：

因此，数列 $a_n$ 收敛于 0，即：

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0.$

总结：

通过以上分析，我们证明了数列 $a_n$ 的极限存在且为有限值，且极限为 0。

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是否需要更多关于该问题的细节，或者有其他问题想要探讨？

以下是与这个问题相关的 5 个问题：

1. 数列的递推关系如何影响其收敛速度？
2. 如何证明递推关系中的增量项会使数列的增长逐渐减缓？
3. 数列收敛到零时，增量项如何变化？
4. 是否存在其他类型的递推关系使得数列收敛到零？
5. 如何用数学归纳法验证数列的单调性？

小贴士： 在处理递推数列时，检查增量项的变化趋势是一个有效的手段，能帮助你分析数列的行为。