Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{n^2}{n^2 + n + 1}$.

Шаг 1: Доказательство того, что последовательность возрастает.

Для того чтобы доказать, что последовательность $a_n$ возрастает, нужно показать, что $a_{n+1} > a_n$ для всех $n \geq 1$.

Найдём разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = \frac{(n+1)^2}{(n+1)^2 + (n+1) + 1} - \frac{n^2}{n^2 + n + 1}$

Упростим числители и знаменатели:

$a_{n+1} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 3n + 3}$

Теперь находим разность двух дробей:

$a_{n+1} - a_n = \frac{(n^2 + 2n + 1)(n^2 + n + 1) - n^2(n^2 + 3n + 3)}{(n^2 + n + 1)(n^2 + 3n + 3)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(n^2 + 2n + 1)(n^2 + n + 1) = n^4 + n^3 + n^2 + 2n^3 + 2n^2 + 2n + n^2 + n + 1 = n^4 + 3n^3 + 4n^2 + 3n + 1$

$n^2(n^2 + 3n + 3) = n^4 + 3n^3 + 3n^2$

Теперь подставим в разность:

$a_{n+1} - a_n = \frac{(n^4 + 3n^3 + 4n^2 + 3n + 1) - (n^4 + 3n^3 + 3n^2)}{(n^2 + n + 1)(n^2 + 3n + 3)}$

$a_{n+1} - a_n = \frac{n^2 + 3n + 1}{(n^2 + n + 1)(n^2 + 3n + 3)}$

Так как $n^2 + 3n + 1 > 0$ для всех $n \geq 1$, то $a_{n+1} > a_n$, следовательно, последовательность возрастает.

Шаг 2: Доказательство того, что последовательность ограничена.

Для того чтобы доказать, что последовательность ограничена, найдём её предел при $n \to \infty$.

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n + 1}$

Разделим числитель и знаменатель на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} = 1$

Таким образом, последовательность стремится к 1 при $n \to \infty$.

Поскольку $a_n$ возрастает и стремится к 1, можно утверждать, что последовательность ограничена сверху значением 1.

Теперь проверим ограниченность снизу. Для всех $n \geq 1$ ясно, что:

$a_n = \frac{n^2}{n^2 + n + 1} > 0$

Следовательно, последовательность ограничена снизу значением 0.

Вывод:

Последовательность $a_n = \frac{n^2}{n^2 + n + 1}$ возрастает и ограничена на интервале $(0, 1]$.

Хотите ли вы подробнее разобрать какие-либо моменты или есть вопросы?

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Что такое строго возрастающая последовательность?
2. Как доказать ограниченность последовательности сверху?
3. Как применяются пределы для анализа последовательностей?
4. Какие существуют методы нахождения пределов сложных дробей?
5. Что означает, если последовательность монотонна?

Советы:

Когда вы исследуете поведение последовательности, анализ её предела на бесконечности — важный шаг в доказательстве её ограниченности.